Онагледяване на умножението на комплексни числа

Вече знаем как да умножаваме две комплексни числа, когато и двете са в правоъгълна или в полярна форма. Конкретно полярната форма за нас означава да умножим големините и да съберем ъглите:

Едно голямо предимство на полярното представяне при умножение на комплексни числа е, че то улеснява онагледяването на нашето действие.

Какво става, когато умножим всяка точка от комплексната равнина по дадено комплексно число $z$‍? Ако $z$‍ има полярна форма $r(\cos (\theta )+i\sin (\theta ))$‍, то описаното по-горе правило ни показва, че за всяка точка от равнината разстоянието ѝ от центъра ще се мащабира по коефициента $r$‍ и тя ще се завърти спрямо него с ъгъл $\theta$‍.

За $z=\sqrt{3}+i=2(\cos ({30}^{\circ })+i\sin ({30}^{\circ }))$‍ умножението по $z$‍ ще има за резултат мащабиране по $2$‍ и ротация от ${30}^{\circ }$‍, ето така:

При $z={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{i}{3}}$‍ абсолютната стойност на $z$‍ е

и ъгълът му е $-{45}^{\circ }$‍, затова умножението по $z$‍ ще мащабира всичко по ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\approx \mathrm{0,471}$‍, което е намаляване, и ще приложи ротация от $-{45}^{\circ }$‍ спрямо началото, което е ротация по часовниковата стрелка.

За $z=-2$‍, което има абсолютна стойност $2$‍ и ъгъл от ${180}^{\circ }$‍, умножението завърта с половин оборот около началото и мащабира по $2$‍.

Има и друг начин да мислим за тези трансформации и като цяло за умножението с комплексни числа. Той е да отбележим точката на числото $1$‍ и точката на числото $z$‍, за да отбележим как умножението по $z$‍ премества точката за $1$‍ до началната точка на $z$‍, тъй като $z\cdot 1=z$‍. Трябва да местим така, че началото да си остава на мястото, защото $z\cdot 0=0$‍.

Интересно е, нали? Съвсем прости факти като $z\cdot 1=z$‍ и $z\cdot 0=0$‍ могат да са толкова полезни в онагледяването на умножението с комплексни числа!

Да видим какво се случва, когато умножим равнината по някакво комплексно число $z$‍, а после я умножим и по неговото спрегнато $\overline{z}$‍:

Ако ъгълът на $z$‍ е $\theta$‍, то ъгълът на спрегнатото му число $\overline{z}$‍ ще е $-\theta$‍, следователно двете последователни умножения няма да направят ротация. Можем да видим това и по точката, която започва на числото $1$‍ и накрая се намира пак на оста на реалните числа в положителна посока.

А какво се случва с големината? И двете числа имат една и съща абсолютна стойност, $|z|=|\overline{z}|$‍, затова ефектът от умножението по $z$‍ и после по $\overline{z}$‍ ще е всичко да се мащабира по$|z|\cdot |\overline{z}|=|z{|}^2$‍.

Разбира се, това е достатъчно просто да се види от формулите, тъй като $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|a+bi{|}^2$‍. Но е особено показателно да го видим в действие!

Какво се получава, ако разделим всяко число от комплексната равнина на $z$‍? Ако $z$‍ има ъгъл $\theta$‍ и абсолютна стойност $r$‍, то делението ще има обратен ефект на умножението: ще приложи ротация по ъгъл $-\theta$‍ и ще машабира по ${\displaystyle \frac{1}{r}}$‍ (което означава да го намали $r$‍ пъти).

Ъгълът на $\sqrt{3}+i$‍ е ${30}^{\circ }$‍, а неговата абсолютна стойност е $2$‍, затова всичко се завърта с $-{30}^{\circ }$‍, което е по часовниковата стрелка и се мащабира по ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍ (което значи да се намали $2$‍ пъти).

Ъгълът на ${\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{i}{3}}$‍ е $-{45}^{\circ }$‍, а неговата абсолютна стойност е

Затова ротацията е с $+{45}^{\circ }$‍, а мащабирането е по ${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}\approx \mathrm{2,121}$‍.

Вероятно забеляза, че тези трансформации могат да се разглеждат и като преместване на точката, където в началото е $z$‍, и поставянето ѝ върху точката на $1$‍.

За да изчислим ${\displaystyle \frac{z}{w}}$‍, където $z=a+bi$‍ и $w=c+di$‍, ние научихме да умножим и числителя и знаменателя по комплексното спрегнато на $w$‍, това е числото $\bar{w}=c-di$‍.

С други думи, делението на $w$‍ е същото като умножение по ${\displaystyle \frac{\bar{w}}{|w{|}^2}}$‍. Има ли нагледен начин да си представим това?

Да приемем, че $w$‍ има ъгъл $\theta$‍ и абсолютна стойност $r$‍. Тогава за да разделим на $w$‍, трябва да приложим ротация по ъгъла $-\theta$‍ и да мащабираме по ${\displaystyle \frac{1}{r}}$‍. Тъй като неговото спрегнато $\bar{w}$‍ има ъгъл, противоположен на ъгъла на $w$‍, умножаването по $\bar{w}$‍ ще завърти по $-\theta$‍, също както търсим тук. Обаче умножаването по $\bar{w}$‍ мащабира всичко по $r$‍ и за да компенсираме това, трябва да разделим на $r^2=|w{|}^2$‍.

Например ето така изглежда разделянето на $1+2i$‍ директно:

А така изглежда, когато първо умножим по неговото спрегнато, $1-2i$‍, и след това разделим на квадрата на големината му $|1+2i{|}^2=5$‍.

Крайният резултат е еднакъв и при двата начина.