Пример за графично умножение на комплексни числа: -1-i

В задачата се казва да умножим комплексното число z по (минус 1 минус i). Това тук е числото z. Коя точка съответства на произведението на z по (минус 1 минус i)? Постави видеото на пауза и опитай да отговориш самостоятелно. Сега да го решим заедно. Начинът, по който аз разсъждавам върху този пример, е, че когато умножаваме по комплексно число, ние извършваме ротация с аргумента на това комплексно число. След това мащабираме по абсолютната стойност на z, по модула на това комплексно число. Да помислим малко върху това. Тук ще начертая още една комплексна равнина. Това е реалната ос, това е имагинерната ос. Минус 1 минус i – това тук е минус 1, а после минус 1 по i. Значи ще дойде точно ето тук. (чертае) Сега да помислим върху две неща. Да помислим колко е аргументът на това число и колко е абсолютната му стойност или модулът. Аргументът е този ъгъл ето тук. Може би вече забелязваш, че ако това е с дължина единица и това също е с дължина единица... или друг начин да разсъждаваме върху това е, че ако това е с дължина единица, това е триъгълник с ъгли 45, 45 и 90 градуса. Значи това е ъгъл 45 градуса, но преди това имаме, разбира се, 180 градуса. Значи това е 180 плюс 45, което дава аргумент 225 градуса. Аргументът тук е равен на 225 градуса. Когато умножим по това, трябва да извършим ротация на 225 градуса. Да видим какво ще се случи, когато завъртим на 180 градуса, а после на още 45 градуса. Ако завъртим с този ъгъл, ще се озовем ето тук. (чертае) Сега трябва да мащабираме модула. Виждаш, че имаме два варианта за мащабиране на модула. Знаем, че верният отговор е или А, или В, защото в отговорите С и D ъгълът на ротация е по-голям от този. Да помислим върху това – трябва да разгледаме само модула от минус 1 минус i – тази точка ето тук – и после просто ще мащабираме модула на това число със същия коефициент. Модулът е просто разстоянието до нулата или началото на комплексната равнина. Значи това е ето това разстояние ето тук. (показва на чертежа) Можем да използваме питагоровата теорема, където тази страна на квадрат, ако означим тази страна като с, с на квадрат е равно на 1 на квадрат плюс 1 на квадрат, т.е. с на квадрат е равно на 2. Или с е равно на квадратен корен от две. Това е модулът ето тук. Модулът е равен на корен квадратен от 2, което е приблизително равно на малко повече от 1,4. Ще го напиша като приблизително 1,4. Значи трябва не само да завъртим на 225 градуса, но също така и да мащабираме модула, разстоянието от началото на комплексната равнина, по 1,4. Това е приблизително три единици от началото на комплексната равнина. Ако го умножим по 1,4: 3 по 1,4 е около 4, по-точно е 4,2. Значи 4,2 единици са едно, две, три, четири, и още малко след това, и се озоваваме ето тук. (чертае) Верният отговор е В.