Комплексната равнина

Имагинерната единица или $i$‍ е число със следните свойства:

Комплексно число е всяко число, което може да бъде написано като $a+bi$‍, където $i$‍ е имагинерната единица, а $a$‍ и $b$‍ са реални числа.

$a$‍ се нарича $\text{реална}$‍ част на комплексното число, а $b$‍ се нарича $\text{имагинерна}$‍ част на комплексното число.

Точно както можем да използваме числовата ос, за да визуализираме множеството на реалните числа, можем да използваме комплексната равнина, за да визуализираме множеството на комплексните числа.

Комплексната равнина се състои от две числови оси, които се пресичат под прав ъгъл в точката $(0;0)$‍.

Хоризонталната числова ос (която ние познаваме като оста $x$‍ в декартовата равнина) е реалната ос.

Вертикалната числова ос (оста $y$‍ на декартовата равнина) е имагинерната ос.

Всяко комплексно число може да бъде представено като точка в комплексната равнина.

Като пример да разгледаме числото $3-5i$‍. Това число, което може също така да се изрази като $3+(-5)i$‍, има реална част $3$‍ и имагинерна част $-5$‍.

Местоположението на това число в комплексната равнина е точката, която съответства на $3$‍ на реалната ос и $-5$‍ на имагинерната ос.

Следователно числото $3+(-5)i$‍ е свързано с точката $(3;-5)$‍. Като цяло, комплексното число $a+bi$‍ съответства на точката $(a;b)$‍ в комплексната равнина.

По времето на Питагор съществуването на ирационалните числа било изненадващо откритие! Те се чудели как нещо като $\sqrt{2}$‍ може да съществува без точно пълно десетично разлагане.

Числовата ос на реалните числа помогнала за разрешаването на тази дилема. Защо? Понеже $\sqrt{2}$‍ има точно местоположение на числовата ос, което показва, че това наистина е реално число. (Ако вземем диагонала на квадрат, чиито страни имат дължина единица, и поставим единия край на диагонала върху $0$‍, другият край на диагонала съответства на числото $\sqrt{2}$‍.)

По същия начин, всяко комплексно число наистина съществува, понеже съответства на точно местоположение в комплексната равнина! Вероятно, тъй като можем да изобразим тези числа, това ни подсказва, че назоваването на тези числа "имагинерни" е злощастно погрешно название.

Комплексните числа съществуват и са важен елемент на математиката. Числовата ос на реалните числа е просто реалната ос на комплексната равнина, но има и много повече от тази единична ос!