Начини на представяне на комплексните числа: преговор

Алгебричният вид на едно комплексно число е сборът от две части: $\blueD{\text{реална}}$start color #11accd, start text, р, е, а, л, н, а, end text, end color #11accd част и $\greenD{\text{имагинерна}}$start color #1fab54, start text, и, м, а, г, и, н, е, р, н, а, end text, end color #1fab54 част, умножена по имагинерната единица $i$i.

Този начин на представяне на комплексните числа е особено удобен при тяхното събиране и изваждане.

Едно комплексно число в алгебричен вид може да се представи графично като точка или като вектор в комплексната равнина. Неговите реална и имагинерна части определят реалната и комплексната координата на числото.

Тригонометричният вид на комплексните числа подчертава графичните им свойства: техните $\goldD{\text{абсолютна стойност}}$start color #e07d10, start text, а, б, с, о, л, ю, т, н, а, space, с, т, о, й, н, о, с, т, end text, end color #e07d10 (дължината на вектора, съответстващ на числото) и $\purpleC{\text{ъгъл}}$start color #aa87ff, start text, ъ, г, ъ, л, end text, end color #aa87ff (ориентираният ъгъл между вектора и положителната посока на реалната ос). Те се наричат също и с термините $\goldD{\text{модул}}$start color #e07d10, start text, м, о, д, у, л, end text, end color #e07d10 и $\purpleC{\text{аргумент}}$start color #aa87ff, start text, а, р, г, у, м, е, н, т, end text, end color #aa87ff.

Забележи, че ако разкрием скобите в тригонометричния вид, ще получим алгебричния вид на числото:

Тази вид е особено полезен при умножение и деление на комплексни числа заради специфичното му свойство: произведението на две числа с абсолютни стойности $\goldD{r_1}$start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10 и $\goldD{r_2}$start color #e07d10, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 и ъгли $\purpleC{\theta_1}$start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff и $\purpleC{\theta_2}$start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff ще има абсолютна стойност $\goldD{r_1r_2}$start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 и ъгъл $\purpleC{\theta_1+\theta_2}$start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, plus, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff.

Експоненциалният вид използва същите елементи като тригонометричния вид: $\goldD{\text{абсолютната стойност}}$start color #e07d10, start text, а, б, с, о, л, ю, т, н, а, т, а, space, с, т, о, й, н, о, с, т, end text, end color #e07d10 и $\purpleC{\text{ъгъла}}$start color #aa87ff, start text, ъ, г, ъ, л, а, end text, end color #aa87ff. Тук просто са показани по различен начин, който е по-кратък. Например умножението може да се представи така:

Експоненциалният вид на комплексните числа произлиза от разлагането по Ойлер на експоненциалната функция $e^z$e, start superscript, z, end superscript за всяко комплексно число $z$z. Обяснението изисква знания за напреднали, но значението е просто: за всяко реално число $x$x определяме $e^{ix}$e, start superscript, i, x, end superscript като равно на $\cos(x)+i\sin(x)$cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.

Като използваме това уравнение получаваме зависимостта между експоненциален и тригонометричен вид на комплексните числа: