Квадратни изрази и основна теорема на алгебрата

Да кажем, че имаме функцията f(х), представена с многочлен от втора степен – 5х на квадрат плюс 6х плюс 5. Основната теорема на алгебрата ни казва, че понеже това е многочлен от втора степен, ще имаме точно 2 корена. Или друг начин да мислим за това е, че има точно 2 стойности за х, които ще направят f(х) равна на 0. Съветвам те да спреш видеото и да опиташ да намериш какви са тези 2 стойности за х. Ако търсим х стойности, които ще направят този израз равен на 0, това ще означава да решим това уравнение: 5х на квадрат плюс 6х плюс 5, равно на 0. Няма някакъв очевиден начин, по който да мога да разложа това тук, така че просто ще прибягна до формулата за намиране корените на квадратно уравнение. Тя ни казва, че х – където х е решение на това уравнение – ще е равно на -b... Ще опитам да го направя в различни цветове. -b, това тук е b. -b, тоест -6, плюс или минус корен квадратен от b на квадрат минус 4 по а по с. Всичко това върху 2 по а. Всичко това върху 2 по а. Как се опростява това? Това ще е равно – ще се върнем до – това ще е равно на -6. Ще опитам да запазя същите цветове. -6 плюс или минус квадратен корен от – на колко ще е равно това? Това е 36 минус 100. -64, всичко това върху 2 по 5 – всичко това върху 10. Това е интересно. Опитваме се да вземем квадратен корен от отрицателно число. Друг начин да мислим за това е: b на квадрат минус 4ас е по-малко от 0. b на квадрат минус 4ас, което често е наречено дискриминантата на това квадратно уравнение. Това е по-малко от 0. Това е по-малко от 0. Ще опитаме да вземем квадратния корен от отрицателно число. Това ще е отрицателно число. Ще имаме резултат имагинерно число. Това ни дава не 2 реални корена, а 2 нереални комплексни корена. Това ще е равно на -6 плюс или минус 8i, квадратният корен от -64 е 8i. Ако увеличим принципната формула за квадратния корен до имагинерни или комплексни числа. Всичко това върху 10. Или можем да кажем, че х е равно на, да видим дали ще намерим най-голям общ делител. Ако опитаме да намалим това, ще имаме, да видим, всички те са делими на 2, така че -3/5, това е същото нещо като -6/10, плюс или минус 4/5 по i. Или можеш да кажеш, че двата корена, които са нереални комплексни корени, тоест това е х, равно на -3/5 плюс 4/5i – това е 1 от корените. Другият корен е х, равно на -3/5 минус 4/5i. Забележи, удовлетворихме основната теорема на алгебрата. Имаме 2 корена, те не са реални, но основната теорема на алгебрата казва: "при многочлен от n-та степен, ще имаме n комплексни корени." Могат да са реални или могат да не са реални, и виждаме това ето тук. Също виждаме, че са свързани. Формулата за корените на квадратно уравнение поставя ситуация, при която, особено ако това е по-малко от 0, тоест когато вземеш квадратния корен тук, получаваш имагинерно число и виждаш къде се появяват тези свързани неща. Нека графично потвърдим, че това е вярно – че това няма никакви реални корени. Нека извадим калкулатор. Нека отида в режим графика - "graph". у е равно на... Нека изчистя това, което съм правил преди това. у1 е равно на 5 по х на квадрат плюс 6х плюс 5 и после нека задам разумен диапазон тук. Не знам... Всъщност знам много малко за тази функция. Така че ще задам диапазон от -10, х макс, не знам, +10. х мащабът е 1, да видим, това нещо бързо става доста голямо. Да кажем, че у макс е, не знам, ще кажа 100. Mащабът ще направя 10. Всяко от тези ще е 10. у минимум, искаме да видим х оста, за да се уверим, че не я пресича, така че нека отидем до отрицателните стойности, не знам, -20. Нека сега направим графика. Надявам се, че хванах всичко и съм го хванал. Тук виждаш, че това нещо не пресича х оста. Всъщност можем да го увеличим. Да видим, малко е трудно, нека променя диапазона. Нека променя диапазона. Нека направим х мин 5, а х макс – опа, не 50, а 5. Да ги направим -5 и +5. Да видим, нека направим у макс равно на 20 и у мащаба можем да направим 2. Мисля, че това ще ни доведе много по-близо, ето, виждаме, че не пресича х оста. Това няма реални корени, но има 2 нереални комплексни корени.