Основната теорема на алгебрата

Основна теорема на алгебрата. Основната – ще запиша това – теорема на алгебрата ни казва, че ако имаме многочлен от n-та степен... нека запишем това. Да кажем, че имам функцията р(х) и тя е изразена чрез многочлен от n-та степен. Да кажем, че е ах на степен n плюс bх на степен (n - 1) и просто продължаваш нататък до някаква константа накрая. Това е многочлен от n-та степен. Основната теорема на алгебрата ни казва, че този многочлен от n-та степен ще има точно n корена или друг начин да мислим за това е че ще има точно n стойности за х, които ще направят този многочлен, този израз вдясно, да е равен на 0. Първото нещо, което може би ще си помислиш е, че това е логично. Виждали сме многочлени от втора степен, чиито графики може да изглеждат подобни на тази. Това е оста у, а това е оста х. Знаем, че графиката на многочлен от втора степен ще е парабола, така че може да изглежда ето така и ще се съгласиш, че е правилно. Това е втора степен, това е втора степен, виждаш, че тази функция е равна на 0 точно на две места. Има точно два корена. Има два корена, така че това изглежда съвместимо с основната теорема на алгебрата. И можеш също да си представиш че графиката на многочлен от трета степен ще изглежда ето така... Това е оста у. Това е оста х. Можеш да си представиш, че един многочлен от трета степен ще изглежда ето така. Бам, бам, бам и продължава. Тук виждаш, че е многочлен от трета степен, понеже има 1, 2, 3 корена. Мога да начертая и графиката на многочлен от четвърта степен. Може би ще изглежда ето така, и ще си кажеш, че това е логично. Ще има 1, 2, 3, 4 корена. Но после може да започнеш да си спомняш неща, които невинаги се държат по този начин. Например много, много, много пъти сме виждали параболи, виждали сме многочлени от втора степен, които изглеждат повече като това, при което не изглежда да пресичат оста х. Това изглежда си противоречи с основната теорема на алгебрата. Основната теорема на алгебрата казва, че ако имаме многочлен от втора степен, тогава трябва да имаме точно два корена. Това е ключовото нещо тук. Основната теорема на алгебрата разширява числовата ни система. Не говорим просто за реални корени, говорим за комплексни корени, и, най-вече, основната теорема на алгебрата позволява дори тези коефициенти да са комплексни. Когато гледаме тези първи примери, всички тези са реални корени и реалните числа са подмножество на комплексните числа. Тук имаше 2 реални корена. Тук имаше 3 реални корена. На тази оранжева графика имаше 4 реални корена. На тази жълта графика (на функция), на тази жълта парабола тук – графиката на многочлен от втора степен – нямаме реални корени. Ето затова не виждаш пресечни точки с оста х, но ще имаме 2 комплексни корена. Това тук ще има 2 комплексни корена. Комплексните корени – тези от тях, които не са реални, понеже реалните числа са подмножество на комплексните числа – винаги идват по двойки и ще видим това в бъдещи видеа. Например ако имаш многочлен от трета степен, той може да изглежда ето така. Графиката на многочлен от трета степен може да изглежда ето така, при което ще има 1 реален корен, но после основната теорема на алгебрата ни казва, че е необходимо да има още 2 корена, понеже той е от трета степен, така че знаем, че другите 2 корена трябва да не са от реалните комплексни корени. Може ли да има ситуация, при която да имаш многочлен от трета степен с 3 комплексни корена? Може ли да имаш 3 комплексни корена, които да не са реални? Възможно ли е това за многочлен от трета степен? Отговорът е не, понеже комплексните корени, както ще видим в следващите няколко видеа, винаги идват по двойки. Те идват по двойки и са спрегнати. Може да имаш многочлен от четвърта степен, който няма реални корени. Графиката може да изглежда подобно на това. В този случай ще имаш две двойки комплексни корени или ще имаш 4 комплексни корена, които няма да са реални. И можеш да ги групираш в две двойки, при което всяка двойка ще е спрегната и ще видим това в следващото видео.