Брой възможни реални корени за даден полином

Тук имаме един полином. Имаме функция р(х), представена от този полином. Очевидно този полином е от 7-ма степен и искам да помислим какъв е възможният брой реални корени за този полином ето тук. Какъв е възможният брой реални корени? Например може ли да има 9 реални корена? Съветвам те да спреш видеото на пауза и да помислиш какъв е броят възможни реални корени. Приемам, че опита. Така, основната теорема на алгебрата ни казва, че определено ще имаме 7 корена, някои от които може да са реални. Определено няма да имаме 8 или 9, или 10 реални корена, най-много ще имаме 7 реални корена, тоест възможният брой реални корени, възможният – нека запиша това – възможният брой реални корени. 7 е възможност. Ако направиш графика на това, потенциално може да пресече оста х 7 пъти. Възможно ли ще е да има 6 реални корена? Възможно ли е да има 6 реални корена? Възможно ли е това? Нека помислим какво ще означава това за нереалните комплексни корени. Ако имаш 6 реални... всъщност нека го направим така. Нека го запиша така. Реални корени и после нереални, комплексни. Причината да не казвам просто комплексни е понеже реалните числа са подмножество на комплексните числа, но така е ясно, че говорим за комплексни числа, които не са реални. Така, можеш да имаш 7 реални корена, а после ще имаш 0 нереални корена, това е напълно възможно. Можеш ли да имаш 6 реални корена, което ще означава, че имаш 1 нереален корен? Не можеш да имаш това, понеже нереалните комплексни корени идват по двойки, свързани двойки, така че винаги ще имаш четен брой нереални комплексни корени. Не можеш да имаш просто 1, така че нека изключим това. А можем ли да имаме 5 реални корена? Това означава, че ще имаш 2 нереални комплексни, за да станат общо 7, и това, разбира се, е възможно, понеже сега имаш два корена тук – една двойка. Мисля, че започваш да виждаш модел. Можеш да имаш нечетен брой реални корени до и включително 7. Например това е възможно и мога просто да продължа. Мога да имам, да видим, 4 и 3. Това не е възможно, понеже тук имам нечетно число. Трябва да имаш четен брой нереални комплексни корени. Изключвам това, но после ако стигнем до 3 и 4, това е напълно възможно. Имаш две двойки нереални комплексни корени. После можем да отидем до 2 и 5, това отново е нечетно число, тези идват по двойки, така че това не е възможно. После стигаме до 1 реален и 6 нереални. Напълно възможно, това е четно число. Накрая, можем да помислим дали може да има 0 реални и 7 нереални комплексни и това не е възможно, понеже тези винаги идват по двойки, така че винаги ще имаш четен брой тук. Възможният брой реални корени – можеш да имаш 7 реални корена, 5 реални корена, 3 реални корена или 1 реален корен за този полином от 7-ма степен.