Основно съдържание

Курс: Въведение в математическия анализ > Раздел 1

Урок 3: Обратими функции

Въведение към обратими функции

Не всички функции имат обратни на тях функции. Онези, които имат, се наричат "обраими." Научи как можем да кажем дали дадена функция е обратима или не.

Обратните функции в най-общ смисъл са функции, които "се обръщат" една друга. Например ако

f

отнася

a

до

b

, то тогава обратната функция

f^{- 1}

трябва да отнася

b

до

a

Всички функции ли имат обратни функции?

Разгледай крайната функция

h

, определена от следната таблица.

$x$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍	$3$ ‍	$4$ ‍
$h (x)$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍	$5$ ‍

Можем да създадем съпоставителна диаграма за функция

h

Сега нека обърнем съпоставителната диаграма, за да намерим обратната функция

h^{- 1}

Обърни внимание тук, че

h^{- 1}

нанася аргумента

2

в две различни стойности на функцията:

1

3

. Това означава, че

h^{- 1}

не е функция.

Тъй като обратната на

h

не е функция, казваме, че

h

не е обратима.

Като цяло дадена функция е обратима, само ако за всеки аргумент има една единствена стойност на функцията. Всяка стойност на функцията е в двойка с точно един аргумент. По този начин, когато съпоставянето се обърне, то също ще бъде функция!

Ето един пример за обратима функция

g

. Забележи, че обратната е наистина функция.

Провери знанията си

f

е ограничена функция, която е определена чрез тази таблица.

$x$ ‍	$- 2$ ‍	$- 1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍
$f (x)$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍	$3$ ‍	$5$ ‍	$6$ ‍

Обратима ли е функция $f$ ‍?

g

е ограничена функция, която е определена чрез тази таблица.

$x$ ‍	$2$ ‍	$5$ ‍	$8$ ‍	$10$ ‍	$19$ ‍
$g (x)$ ‍	$- 2$ ‍	$- 3$ ‍	$- 2$ ‍	$1$ ‍	$6$ ‍

Обратима ли е функция $g$ ‍?

Виждаме от таблицата, че

g (2) = - 2

g (8) = - 2

. Това показва, че

- 2

не е единствената стойност на функцията и следователно функция

g

не е обратима.

Можем да използваме също и съпоставителна диаграма, която да ни помогне да определим дали

g

е обратима или не.

Обърни внимание, че

g^{- 1}

не е функция, така че

g

не е обратима.

Задача с повишена трудност

3*) Обратима ли е функцията $f (x) = x^{2}$ ‍?

Можем да създадем частична таблица със стойности за функцията

f (x) = x^{2}

$x$ ‍	$- 2$ ‍	$- 1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍
$f (x)$ ‍	$4$ ‍	$1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$4$ ‍

Виждаме от таблицата, че

f (- 2) = 4

f (2) = 4

. Това ни показва, че за всеки аргумент няма една единствена стойност на функцията, така че функция

f

не е обратима.

(Забележка: Можеш да използваш същия довод също и с други стойности на функцията!)

Обратими функции и техните графики

Разгледай графиката на функцията

y = x^{2}

Знаем, че дадена функция е обратима, ако за всеки аргумент има една единствена стойност на функцията. Или казано по друг начин, ако всяка стойност на функцията е в двойка с точно един аргумент.

Но това не е така за

y = x^{2}

Вземи например стойността

4

. Забележи, че като начертаем правата

y = 4

, виждаме, че има два аргумента,

2

- 2

, които са свързани със стойността на функцията

4

Всъщност ако плъзнеш хоризонталната права нагоре и надолу, ще видиш, че повечето стойности на функцията са свързани с два аргумента! Следователно функцията

y = x^{2}

не е обратима функция.

За разлика от това разгледай функцията

y = x^{3}

Ако вземем една хоризонтална права и я плъзнем нагоре и надолу по графиката, тя ще пресича функцията само на едно място!

Това означава, че всяка стойност на функцията съответства точно на един аргумент. С други думи за всеки аргумент има една единствена стойност. Функцията

y = x^{3}

е обратима.

Логиката, използвана по-горе, описва това, което наричаме Правило за хоризонталната права: Като цяло, дадена функция

f

е обратима, ако отговаря на правилото за хоризонталната права.

Припомни си, че дадена функция и обратната ѝ са симетрични образи спрямо правата

y = x

Виж какво се случва, когато намерим симетричния образ на графиката на функцията

y = x^{2}

спрямо правата

y = x

Получаваме връзка, която на е функция, тъй като обратната функция не съответства на правилото на вертикалната права!

Като цяло, ако дадена хоризонтална права пресича графиката на една функция на повече от едно място, вертикална права ще пресича графиката на нейния симетричен образ спрямо

y = x

на повече от едно място. Това означава, че обратната няма да е функция.

За разлика от това симетричният образ на

y = x^{3}

съответства на правилото на хоризонталната права и следователно

y = x^{3}

е обратима.

Провери знанията си

4) Обратима ли е функция $g$ ‍?

За да определим дали дадена функция е обратима, трябва да преценим дали на всеки аргумент отговаря една стойност на функцията. За да го направим, можем да си представим минаването на хоризонтална права през графиката на функцията.

По специално нека си представим хоризонтална права при

y = 2

Забележи, че правата

y = 2

пресича графиката на

y = g (x)

на три места. Това означава, че има три аргумента, които отговарят на стойност на функцията

2

. Следователно за всеки аргумент няма една единствена стойност на функцията и тя не е обратима.

Или можем да кажем, че функцията

y = g (x)

не съответства на правилото на хоризонталната права и следователно не е обратима.

5) Обратима ли е функция $h$ ‍?

Ако вземем тази хоризонтална права и я плъзнем нагоре и надолу по графиката, тя ще пресича функцията само на едно място! Това означава, че за всеки аргумент има една единствена стойност на функцията и следователно функцията е обратима.

Или можем да кажем, че функцията съответства на правилото на хоризонталната права и следователно е обратима.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.