Въведение в елипси

. В последното видео ние научихме малко за окръжността. А окръжността е наистина само един специален случай на елипса. Тя е специален случай, защото в окръжността вие сте на еднакво разстояние от центъра на окръжността, докато в елипсата, разстоянието от центъра на кръга винаги се променя. Знаете как изглежда една елипса. Добре, аз ви показах това в първото видео. Тя изглежда по този начин. Това което искам да кажа е, че радиусът или разстоянието от центъра е винаги различно. Нека кажа, че това е центрирано в началото. Това тук е началото. Виждате тук,че ако наистина сме на тази точка от елипсата, ние сме наистина близо до началото. Това всъщност е най-близкото, което можем да получим, толкова близко, колкото получаваме и тук долу. И когато сме тук, ние сме наистина далече от началото и това е горе-долу толкова далече, колко ще бъдем ето тук. И така, окръжността е един специален случай на това, защото в случая с окръжност, отдалечеността, която получаваме от началото е същото разстояние, от най-близкото, което получаваме или с други думи, ние сме винаги точно на едно и също разстояние от началото. Е, казвайки това, нека всъщност да навлезем малко в математиката. И така, основната или стандартната форма за центрирана елипса в началото е х на квадрат върху а на квадрат, плюс у на квадрат, върху b на квадрат, е равно на 1. Където а и b са просто които и да е две числа. Бих могъл да напиша това като с на квадрат и d на квадрат. Искам да кажа, че те са само означения за мястото. Само да ви дам представа, какво означава това, ако това беше нашата въпросна елипса сега, а е дължината на радиуса в посоката на х. Не забравяйте, че ще имаме квадрат тук долу. Така че, ако вземете квадратния корен от това, което е в знаменателя, а е х-радиусът. Така че това разстояние, в нашата малка диаграма тук, в нашата малка графика тук, това разстояние е а или тази точка тук, тъй като сме центрирани в началото, ще бъде точката х е равно на а, у е равно на 0. И разбира се, тази точка тук ще бъде а, това ще бъде точката минус а,0. И тогава радиусът в посоката на y ще бъде този радиус ето тук и той е b. И така, тази точка ще бъде х е равно на 0, у е равно на b. По същият начин, тази точка тук ще бъде х е равно на 0, y е равно на минус b. И начинът, по който начертах това, имаме един вид къса и дебела елипса, можете също да имате някакъв вид висока и слаба елипса. Но в късата и дебела елипса, посоката, в която е къса се нарича вашата малка ос. И така b, винаги забравям точната терминология, но можете да наричате b вашата полу- или дължитана на вашата малка полуос. Малка полуос. И откъде идва тази дума? Ами, ако цялото това нещо е вашата главната ос или може би можете да го наричате вашия главен диаметър, ако това цялото нещо е вашия второстепенен диаметър, той се казва малък диаметър, защото е най-късия от всички диаметри на тази елипса. И след това полу- е половината от това. Нали? Полу- за половината. b е дължината на малката полуос. Малката полуос. Това е b в този пример, просто защото, както начертах тази елипса, излиза, че това b е по-малко от а. Ако b беше по-голямо от а, щях да имам висока и слаба елипса. Нека всъщност да начертая една. Тя би могла да бъде ето такава. Бих могъл да имам елипса, която изглежда нещо като това. В който случай, изведнъж b ще бъде главната полуос, тъй като b ще бъде по-голямо от а. Тогава това ще бъде по-високо, отколкото е широко. Но нека да не объркваме графиката твърде много. И в този случай, а е дължината на - мисля, че сте предположили - а е дължината на главната полуос или вие дори можете да я наричате дължината на главния радиус. Мисля, че това има повече смисъл. Главния радиус. И можете да наричате това малкия радиус. Малкия радиус. И така, нека просто направим един пример. И аз мисля, че когато направя един пример с реални числа, това ще го направи малко по-ясно. Нека кажем, че се появя на вратата ви с следното: Ако кажех, че х на квадрат върху 9, плюс у на квадрат върху 25 е равно на 1. Какъв е вашият радиус в x-посоката? Това е вашият радиус в x-посоката на квадрат. И така, вашият радиус в направление x, ако просто го нанесем, бихме казали, че а е равно на 3. Тъй като това е а на квадрат. И ако го бяхме просто нанесли, щяхме да кажем, че това е b на квадрат, после това ни казва, че b е равно на 5. Така че, ако искахме да начертаем това и още веднъж това е центрирано в началото. Нека първо начертая елипсата. И така, на първо място имаме, че нашият радиус в посоката на y е по-голям от нашият радиус в x-посоката. Елипсата ще бъде по-висока и по-слаба. Тя ще изглежда по следния начин. Чертаем някакви оси, така че това би било вашата х-ос, вашата у-ос. И така, това разстояние. Това е вашият радиус в у-посоката. Така че, това разстояние тук ще бъде 5 и така също и това разстояние. А това е вашият радиус в x-посоката. Така че, това ще бъде 3 и това ще бъде 3. Това е всичко. Сега изобразихте тази елипса. Няма нищо прекалено особено. И всъщност само един вид, за да се върнем към началото, че окръжността е един специален случай на елипса. Научихме в последното видео, че уравнението за окръжност е x на квадрат - окръжност, центирана в началото - х на квадрат плюс y на квадрат е равно на r на квадрат. Така че, ако бяхме разделили двете страни на това с r на квадрат, ние щяхме да получим - и това е само малка алгебрична манипулация - х на квадрат, върху r на квадрат, плюс y на квадрат, върху r на квадрат е равно на 1. Сега, в този случай, вашето а е r и същото е с вашето b. Вашата малка полуос е r и също, и вашата голяма полуос е r. Или, с други думи, това разстояние е същото, като това разстояние и така тя няма да бъде нито къса и дебела, нито висока и слаба. Тя ще бъде идеално кръгла. И ето защо окръжността е един специален случай на елипса. Нека ви дам малко - това ще изглежда много по-сложно и това е нещо, което може да видите на изпит. Но аз просто искам да ви покажа, че това е само изместване. Да речем, че искахме да изместим тази елипса. Да речем, че искахме да я изместим на дясно с 5. Искаме да я изместим надясно с 5. Вместо началото да бъде в х е равно на 0, началото сега ще бъде в x е равно 5. Начинът да мислите за това е, какъв трябва да бъде този член, така че при 5, този член да се озове в 0. Добре, аз всъщност ще го начертая заради вас, защото мисля, че това може да бъде объркващо. Ако изместим това на дясно с 5, новото уравнение на тази елипса ще бъде х минус 5 на квадрат върху 9 плюс y на квадрат върху 25 е равно на 1. Така че, ако трябваше просто да начертая тази елипса сега, тя би изглеждала така. Искам да я направя да изглежда малко подобна на елипсата, която имах преди. Тя ще изглежда точно по този начин. Просто я изместихме с пет. И това, което научихме малко в клипа за окръжност, където казах - О, добре, знаете, че ако имате х минус нещо, това означава, че новото начало сега е в плюс 5. И вие бихте могли да запомните това. Можете винаги да кажете: О, ако имам минус тук, тогава началото е в минус от което и да е това число, така че то би било плюс пет. Знаете, че ако имате положителен знак, ще бъде обратното на това. Но начина, по който наистина трябва да мислите за това е, ако сега отидете от х е равно на 5, когато х е равно на 5, този целият член, х минус 5, ще функционира точно както този х член тук. Когато х е равно на 5, този член е 0, точно както когато х беше 0 тук. Така че, когато х е равно на 5, този член е 0 и тогава y на квадрат върху 25 е равно на 1, така че y трябва да бъде равно на пет. Точно както тук, когато х е равно на 0, y на квадрат върху 25 трябваше да бъде равно на 1, y е равно или на плюс или на минус 5. И аз наистина искам да ви покажа тази логика. И след това, да речем, че искахме да изместим това уравнение надолу с две. Ако искахме да го изместим надолу с 2. Нашата нова елипса ще изглежда по подобен начин. И това не е нищо... Много пъти сте учили това при коничните сечения. Но това се отнася за всяка функция. Когато измествате нещата, вие ги измествате по този начин. Ако изместите тази графика надясно с пет, вие замествате всяко от х-овете с x минус 5. И ако я бяхте изместили надолу с две, вие щяхте да заместите всички y-ци с y плюс 2. Нека начертая нашата нова елипса първо, просто за да ви покажа какво правя. Тя ще бъде изместена надолу с 2. Нашата нова елипса ще изглежда по следния начин. Измествам жълтата елипса надолу с две. Така че, това уравнение, ако го изместя надолу, ами х е все още там, където беше преди. х минус 5 на квадрат върху 9, плюс у, плюс 2 на квадрат върху 25 е равно на 1. И още веднъж, причината да знам това е, защото сега, когато y е минус 2, целият този член е 0. 0, когато y е равно на минус 2. И когато този член е 0, той се държи по същия начин както, когато този член беше 0. Така че, когато y е равно на минус 2, получавате същата ситуация, вие сте в същата точка на кривата, всъщност ето тук, в която сте, когато y равняваше 0 при това тук. Така че, това не е същата точка. Можете един вид да я разглеждате, като същата част от елипсата. Вие сте един вид в максималната точка от ширината на елипсата тук и тук, когато y е равно на 2, и вие бяхте тук в у е равно на 0 - съжалявам, когато y беше равно на минус 2. Това е минус 2. И това е, защото когато сложите y да е равно на минус 2 тук, целият този член е 0. Точно както, когато y беше 0 тук. Не искам да го правя твърде объркващо. Но само един вид, за да обхвана всичко, понякога можете да видите нещо като графика на следното: y минус 1 на квадрат върху 4, плюс x плюс 2 на квадрат, върху 9, е равно на 1. Първото нещо, което можете да кажете е: Добре това е просто като стандартната елипса, y на квадрат върху 4, плюс x на квадрат върху 9 е равно на едно. То е точно същото, но е изместено. Началото на това е 0,0, докато началото на това ще бъде какво? То ще бъде точката х е минус 2, а у е 1. Така че, ако трябваше да начертаете това, вашият радиус в вашата y-посока е 2. 2 на квадрат е равно на 4. Вашият радиус във вашата x-посока е 3. 3 на квадрат е равно на 9. Така че, вашият x-радиус е всъщност по-голям от вашия y-радиус. Така че, това ще бъде малко дебела елипса. Всъщност, нека първо начертая осите. Това е моята... Нека ги начертая ето така. Това е моята вертикална ос, това е моята x-ос. И така моят център сега е в минус 2, 1. И така, 1,2 Това е минус 2 и отивам нагоре с едно. Това е центърът на моята елипса. И сега в x-посоката, това е членът x, моят x-радиус е 3. Така че елипсата ще отиде с три - в тази посока. Това е нейната най-широка точка - тя ще бъде 3 в тази посока. И след това в у-посоката, тя ще отиде до 2, тя отива нагоре 1, 2, ето там и след това 1, 2 и е ето там. Така че, ако трябваше да начертая тази елипса, тя би изглеждала нещо като това, чрез моя най-добър опит. Тя би изглеждала ето така. Малко по-дебела отколкото е висока и това е, защото вашият x-радиус е по-голям от вашия y-радиус. Това разстояние тук е 3, това разстояние тук е 3, това разстояние тук е 2, това разстояние тук е 2. Можете да намерите, кои са тези точки. Няма да правя всичките точно сега, поради липса на време. Но тази тук е точката -2,1. Така че, ако отидете с три повече от това - ако добавите 3 към x-посоката, това е точката 1,1. Ако махнете три от х-посоката, това ще бъде -5,1. И вие можете да намерите другите точки. Това може да бъде добро упражнение за вас. Както и да е, това е малко от елипсите. В бъдещи клипове, ние ще правим наистина сложни задачи, където трябва да го опростите в тази форма, така че да знаем, че това определено е елипса. определено е елипса.