Върхове и посока на хипербола

Коя от тези графики може да е на хиперболата с уравнение (y^2)/9 – (х^2)/4 =1? От четирите възможни отговора графиките A и C са отворени отгоре и отдолу. Графиките B и D са отворени отляво и отдясно. Графиките B и D са отворени отляво и отдясно. Можеш да забележиш, че графиките, които са отворени откъм едни и същи посоки, имат различни върхове. Приканвам те да поставиш видеото на пауза и да опиташ да намериш самостоятелно кой от тези отговори представлява уравнението на хиперболата, да намериш коя е графиката на това уравнение тук горе. Има няколко начина на разсъждение. Първото, което можем да потърсим, е кой е центърът на тази хипербола? Тъй като в уравнението имаме само y на квадрат и само х на квадрат, то знаем, че центърът е в точката (0; 0). Ако центърът беше в друга точка, например в точката с координати (h; k), тогава уравнението щеше да бъде y минус y-координатата на центъра, или (у – k)^2/9 минус х минус х-координатата на центъра на квадрат (х – h)^2/4, цялото равно на 1. И в нашия конкретен случай имаме двете координати на центъра k и h равни на нула. В уравнението можем да видим това като y минус нула на квадрат и x минус нула на квадрат. Следователно центърът в нашия случай ще бъде в точката (0; 0). И виждаме това на всички графики. Следващия въпрос, който можем да си зададем, е дали графиката ще е отворена отгоре и отдолу или отляво и отдясно? Ще търсим отговора като разгледаме двата члена на уравнението, записано в стандартен вид, както е тук. Единият член е (y – k)^2 върху нещо на квадрат, а другият член е – (х – h)^2 върху нещо на квадрат, събрани равно на едно. Би могло да бъде и наобратно, Членът с х да е положителен, а членът с y да е отрицателен в уравнението на някоя друга хипербола. Ключът тук е да видим кой член е положителен. Това ще ни покаже в коя посока се отваря хиперболата. След като членът с y тук е положителен, това ни показва, че хиперболата се отваря нагоре и надолу. Можеш и просто да запомниш това но за мен запомнянето не е достатъчно, винаги искам да знам защо става така. Ключът е да разберем, че когато членът с у е положителен, то можем да разгледаме случая, когато другият член е равен на нула. В този случай правим другия член да е нула, като вземем стойност на х, равна на х координатата на центъра. При нас тя е нула, така че взимаме х равно на нула. Нула на квадрат върху четири е нула и този целият член става нула, така че можем да решим това уравнение за у. Можем да решим уравнението за случая, в който х е равно на х координатата на центъра, тогава този член отпада и остава у^2/9 = 1. Или у^2 = 9. Тук у е равно на плюс или минус три. Така знаем, че двете точки с х координата, равна на тази на центъра, и с у координати плюс и минус три се намират на хиперболата, защото са решения на нейното уравнение. Тя ще се отваря нагоре и надолу от центъра. Отиваме на точките с абциса: х координатата на центъра и ординати: плюс три и минус три. Тези точки тук. Те не са част от тази хипербола. Всъщност, ако тези точки бяха на тази хипербола, тя нямаше да може да се отваря наляво и надясно. тя нямаше да може да се отваря наляво и надясно. Така координатата, чийто член е положителен показва оста, по която графиката се отваря. Ако членът с х беше положителен, тя щеше да се отваря наляво и надясно по същата причина. Може да видиш, че ако бяхме направили обратното, ако бяхме взели стойност на у, равна на у координатата на центъра, тогава членът с у щеше да се занули и щяхме да получим –(х^2)/4 = 1 което е същото като(х^2)/4 = –1 Опростява се до х^2 = –4 Получих го, като просто умножих двете страни по –1 тук и после ги умножих по 4. Това уравнение няма решение. Заради това знаем, че нашата хипербола няма да пресече абцисната ос, няма точки с ордината нула. Никога няма да достигне до ситуация, в която у е равно на у координатата на центъра. Ординатата никога няма да бъде нула. В тези два случая, B и D, има точки с y равно на нула. Да обобщим, намираме кой член е положителен и гледаме коя е променливата в него. Ако това е променливата у, посоката на отваряне ще е по оста у. И когато установих кои са конкретните точки на върховете на хиперболата, видяхме, че точките (0; 3) и (0; –3) са от графиката. Отговор А тук изглежда добър кандидат. Другата графика, която се отваря отгоре и отдолу, не минава през точките(0; 3) и (0; –3). Нейните върхове са с координати (0; 2) и (0; –2). Затова можем да сме сигурни, че отговор А е правилният.