Основно съдържание
Въведение в математическия анализ
Курс: Въведение в математическия анализ > Раздел 10
Урок 11: Доказване на непрекъснатост в даден интервалФункции, непрекъснати за определени стойности на х
Питат Сал дали следните две функции са непрекъснати за x=3: ln(x-3) и eˣ⁻³. Познатите ни функции най-често са непрекъснати за всички числа в техните дефиниционни множества.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Кои от следните функции са непрекъснати за х=3? Както видяхме в примера от предишното видео, за да бъде непрекъсната в точка, функцията трябва поне
да е определена в тази точка. Видяхме определението
за непрекъснатост, f е непрекъсната в точката а
тогава и само тогава, когато границата на f(x) при х,
клонящо към а, е равна на f(a). В този случай можем да кажем,
че функцията е непрекъсната за х=3
тогава и само тогава, когато границата на f(x)
за х, клонящо към 3 е равна на f(3). Сега да видим
нашата първа функция. Натурален логаритъм
от х – 3. Сега функцията не е f, а е g. Опитай да изчислиш
g(3). Ще го разпиша тук. g(3) e равно на
натурален логаритъм от 0. Защото имам 3 минус 3. Това е неопределеност. Няма такава степен, на която
да повдигнеш е, за да получиш 0. Може да опиташ и да стигнеш
до минус безкрайност. Но това не е определено число. И тъй като тази функция
дори не е определена за х = 3, няма начин тя да бъде
непрекъсната за х = 3. Можем да изключим
този отговор. Сега имаме f(x) = е^(х – 3). Това е просто изместен вариант
на функцията е на степен х. Дефинирана е за всички
реални числа. И както видяхме в предишния пример, може да се каже, че е непрекъсната
за всички реални числа. Можеш да направиш тази малка проверка. Границата на е на степен х
за х, клонящо към 3 ще е равна на е на степен 3 – 3,
това е е^0, което е равно на 1. Получихме, че единствената
непрекъсната функция е f. Отново е добре да помислим какво се случва
на графиката. И двете функции
могат да се разглеждат като изместени версии
на функциите от предишния пример: на ln(х) и е^х. Ако искаме, можем да начертаем
координатните оси: това са оста у и оста х. Сега ще поставя някои точки. Имаме едно, две, три, деления; вече казах, че нашите функции
са изместени версии и може да има по-добър начин
да ги начертая, затова ще отброя
три единици тук. Ще отбележа до 6. На другата ос
няма да са в същия мащаб, за да се събере:
дотук са 3. Ще начертая асимптотата чрез прекъсната линия тук. g(x) или ln от х – 3 ще изглежда горе-долу така. Стойността ѝ за х = 3
е неопределена, Сега ще използвам х = 4, ln oт x – 3 става ln от 4 – 3. Нека го отбележа
в таблица отстрани. Дано не се объркваш. Имам колко на за х
и колона за g(x). При х = 3 е неопределеност. При х = 4 стойността е
ln от 1, което е равно на 0,
това е тази точка. Функцията g(x)
ще има такава графика. Виждаш, че при х = 3 има такова прекъсване. Функцията дори не е определена
наляво от 3. Сега за f(x)
нещата са по-прости. За х = 3 имаме
f(3), което е е на степен
3 – 3 или е на степен 0,
което е 1. Графиката ѝ ще изглежда горе-долу така. Няма скокове
или дупки, функцията е непрекъсната
за всички реални числа, също и за х = 3.