Анализиране на безкрайни граници: рационални функции

Нека f(х) е равно на минус 1 върху (х – 1) на квадрат. Избери вярното описание на лявата и дясната граница на f при х = 1. Виждаме няколко възможни отговора, показващи дясна и лява граница. Опитваме се да разберем дали неистинската граница от всяка страна е плюс или минус безкрайност. Има няколко начина на действие. Най-директният е да вземем всяка граница отделно. Можем да мислим за дясната граница на f(х), това е, когато х клони към 1 откъм положителната посока, както и за лявата граница, когато х клони към 1 от лявата посока. Ето тук написах дясната, а тук е лявата граница. Сега ще попълня таблица с няколко стойности, които се приближават към 1 от двете посоки. Колоните са х и f(х), ще направя същото и за лявата граница. Тук също имаме х и f(х). Тук се приближаваме към 1 отдясно, тоест отгоре надолу, затова опитваме с 1,1, после с 1,01. Стойността на функцията за 1,1 е минус 1 върху (1,1 –1) на квадрат. Знаменателят е 0,1 на квадрат... това е 0,01. Цялото ще е –100. Да го напиша. f(1,1) = –100. Продължавам, за х = 1,01 ще имаме минус 1 върху (1,01 – 1) на квадрат, тук знаменателят ще е равен на 0,01 на квадрат, което е 0,0001 или 1/10 000. значи –1/0,0001, което е равно на – 10 000. Записвам, минус десет хиляди. Изглежда, че когато се приближаваме до 1, забележи, че се движа отдясно, откъм положителната посока, доближавам 1 отгоре – то тогава резултатът става неограничен и отрицателен. Получихме, че дясната граница е минус безкрайност. Сега да направим същото и за лявата граница. Мога да избера 0,9 и 0,99 за х. За 0,9 получавам –100, защото 0,9 – 1 е равно на –0,1... но когато го повдигнем на квадрат, минусът изчезва и получаваме 0,01 в знаменателя, а имаме и минус отпред, значи и тук става –100. Ако изчисленията те объркват, ще ги повторя още веднъж, за да е ясно всичко. Тук имаме –1 върху, тук съм в случая с х=0,99... още по-близо до 1, но се приближавам отдолу, от лявата страна... тук идва (0,99 – 1) на квадрат. 0,99 – 1 е равно на минус 1/100, знаменателят става –0,01 на квадрат. При повдигането на квадрат минусът изчезва. Остава 1/10 000. Това е 0,0001. Това е равно на една десетохилядна. Да не забравя минуса отпред: става –1/10 000. В крайна сметка и двете едностранни граници се стремят към минус безкрайност. Това съответства на последния отговор. Все пак, има и други начини, по които да действаш тук. Ако просто погледнеш структурата на този израз: числителят е константа, значи той определено винаги е положителен. Засега няма да гледаме този минус. Той си остава отпред. Този числител, единицата, винаги е положителен. Отдолу имаме, че х клони към 1, където знаменателят ще стане нула и целият израз ще е неопределен. х – 1 може да е положително или отрицателно, както видяхме тук, но когато го повдигнем на квадрат, винаги е положително. Значи знаменателят също е положителен за всяко х, различно от 1. Положително делено на положително е положително число, но имаме този минус отпред. Значи целият израз е отрицателен за всяко х, различно от 1, а за х=1 всъщност е неопределен. От тези разсъждения можеш да заключиш, че може да се стреми само към минус безкрайност. Всъщност няма никакъв шанс да се получат положителни стойности за тази функция.