Функции с еднакви граници при безкрайност

Целта на това видео е да получиш представа, че може да има безкрайно много различни функции с една и съща граница при х, клонящо към безкрайност. Да вземем това общо твърдение, че границата на някоя функция f(x) при х, клонящо към безкрайност е равна на 3. В това видео ще покажа някои примери за такива функции. Ще покажа и че винаги можем да намерим повече и повече функции, безкраен брой такива функции, за които това твърдение да е вярно. Например, да разгледаме тази графика. В другите уроци ще се занимаем с доказателството, а сега да помислим какво става, когато имаме много, много големи стойности на х. Когато х става много голямо това плюс 5 тук вече няма голямо значение, затова изразът се доближава все повече до 3 х на квадрат върху х на квадрат, което е равно на 3. Можеш да видиш това тук, на графиката е със зелено. Виждаш, че дори когато х е равно на 10, се доближаваме доста близо до стойността 3. Ще отдалеча малко, за да се виждат координатните оси. Ето тук е 3. Ще начертая с пунктир асимптотата. Тя е правата у = 3 и виждаме как функцията я доближава все повече, когато х отива към безкрайност. Но това не е единствената функция, която има това свойство. Ще повторя, че има безкраен брой функции с описаното поведение. Една от тях е тази по-сложна функция с натурални логаритми. И тя при х, клонящо към безкрайност, също се доближава все повече и повече до 3. Може и да се доближава малко по-бавно, отколкото зелената функция, но тук става въпрос за безкрайност. Когато х доближава безкрайност, тази функция също ще доближи 3. И както видяхме в предишни видеа, дори може да имаме графики, които се колебаят около асимптотата. Но те също стават все по-близки до нея, когато х става все по-голямо. Например ето тази функция. Нека приближа малко. Сега сме с по-голям мащаб. Да видим какво става за х = 14. Виждаме, че и трите графики са близо до 3. Лилавата се колебае около тази стойност, а другите я доближават отдолу. А какво става за по-големите числа? ще се отдалеча малко, а после ще приближа пак. Да стигнем до някое наистина голямо число. Дори и 100 не е толкова голямо, когато говорим за безкрайност. Дори и трилион не е голямо в контекста на безкрайност. Но да се спрем на 200. Това е доста повече от числата, които гледахме досега. Сега ще приближа. Когато х е равно на 200, виждаш, че приближавам страшно много, само за да видя, че графиките все още не са се стабилизирали около асимптотата. те са малко по-различни от нея. Погледни мащаба, виж колко много съм се приближил. Сега всяко деление е една стотна. Значи сме отишли много, много по-близо до асимптотата. Всъщност зелената функция дори не се различава видимо от нея. В изчислението виждаш, че разликата им е в 2-3 знака след десетичната запетая. Вече сме страшно близо до 3, но не сме съвсем там. Функцията в зелено го достига най-бързо, това е един извод. Но целта ни тук беше да подчертаем факта, че има безкраен брой различни функции, за които е вярно твърдението, което направихме: че границата на функцията, когато х клони към безкрайност в този случай е равна на 3, като си избрах числото 3 произволно. Такова твърдение е вярно за произволна функция. Тук не личи колко много съ ме приближил. Нека се върнем към началото на координатната система, където имахме първия израз. Виждаме началото, мога да приближа още малко. Ето тук. Границите на всички тези функции, когато х клони към безкрайност са равни на 3.