Граници при безкрайност на частни с квадратни корени (нечетна степен)

Имаме функцията f(x) = x върху корен квадратен от (x²+1). Искам да помислим за границата на f(x), когато х клони към плюс безкрайност и за границата на f(x), когато х клони към минус безкрайност. Нека помислим какви могат да бъдат. Ще направя това по по-интуитивен, не толкова подробен начин. По-точно, ще помислим до какво се доближава функцията, когато х става все по-голямо. В този случай х расте все повече в положителна посока. Абсолютната стойност на х все става много голяма, когато отива и към плюс, и към минус безкрайност. В числителя имаме само 1 член, това е членът х. А в знаменателя имаме два члена под знака за корен квадратен. Когато х отива към безкрайност в едната от двете посоки, Тук отдолу ще доминира членът х². Представи си, че х е 1 милион и тук ще е милион на квадрат плюс 1. Стойността на знаменателя ще зависи от члена х². Затова границата е приблизително х върху корен от х². Този член 1 тук не е от значение при много големи х. Така полученото приближение е равно на х върху, тук повдигам х на кварат и после прилагам корен квадратен, запомни, че корен квадратен винаги е положителен, ще получа абсолютната стойност на х. Това ще е равно на х върху абсолютната стойност на х, когато х клони към +/- безкрайност. Друг начин да определим тези граници е като кажем, че за х клонящо към безкрайност, това ще е равно на границата на х върху абсолютната стойност на х. За положителни стойности на х абсолютната стойност на х е равна на х. Тук ще имаме х/х или просто 1. Аналогично за границата при х, клонящо към минус безкрайност, тук ще е границата на х / |х|. Запомни, че правя това твърдение единствено защото f(x) и този израз стават много подобни, приближават се едно до друго, когато х става много, много голямо число, независимо положително или отрицателно. За отрицателните числа абсолютната стойност на х пак е положителна и х очевидно е отрицателно, затова получаваме -1. Сега можем да начертаем графиката на функцията. Да опитаме. Ето тук е оста у и оста х, и видяхме, че имаме 2 хоризонтални асимптоти. Едната е при у=1. Нека това тук да бъде у = 1. Ще я начертая с пунктир. Функцията ще се доближава до нея. Другата хоризонтална асимптота е за у = –1. Ето тук ще дойде правата у = –1. За да имаме една точка от графиката, да помислим колко е f(0). f(0) е равно на 0 върху корен от (0 на квадрат + 1). Това е равно на 0. Значи тази точка тук е от графиката. Знаем, че когато х клони към безкрайност, функцията се стреми към синята асимптота. Може да изглежда някак така. Ще опитам пак... Изтривам първия опит... Графиката може да е такава. Исках да използвам друг цвят. Ето така. Доближаваме се все повече до асимптотата, когато х расте. А когато х намалява до минус безкрайност, се доближаваме до другата асимптота. Не го начертах съвсем добре. Това е нашата графика на y = f(x). Можеш да потвърдиш това, като изчислиш още точки с калкулатора или използваш програма за чертаене на графики. При всички положения се справихме с още една ситуация за граница към безкрайност. Тук определихме хоризонталните асимптоти. Запомни най-важното: да разбереш кои членове доминират, когато абсолютната стойност на х става все по-голяма. Така ще намериш хоризонталните асимптоти, към които се стреми функцията в положителната и в отрицателната посока.