Решен пример: точка, в която функцията не е непрекъсната

Имаме функцията f(x), която е частично определена. Тя е дефинирана за няколко дадени интервала: първият е за х в (0;2]: 0 по-малко от х и х по-малко или равно на 2, когато f(x) е равно на натурален логаритъм от х. За стойностите на х, по-големи от 2 f(x) e равно на х на квадрат по натурален логаритъм от х. Искаме да намерим границата на f(x), когато х клони към 2. Интересното за числото 2 тук е, че това е границата между тези два интервала. За да намерим функцията при 2, попадаме в първия интервал. х = 2 всъщност е по-малко или равно на 2 и е по-голямо от 0. И така, f(2) е ясно. Това е просто натурален логаритъм от 2, ln2. Но не е задължително и границата да е толкова. За да я намерим, трябва да помислим за лявата граница и за дясната граница. И ако те съществуват, дали са равни. Ако те са равни, то самата граница ще е ясна. Да започнем. Първо да помислим за лявата граница: когато х клони към 2 от лявата посока, откъм по-малките от 2 числа. В този случай ще се намираме в първия интервал, този тук. Работим с числа, които са по-малки от 2 и клонят към 2 отляво. Тук попадаме в този случай, за който знаем, че е непрекъснат в нашия интервал, където сме сега. Със сигурност за всички стойности, по-големи от 0 и по-малки или равни на 2 тази граница ще е равна на израза за този случай, изчислен за х = 2. Това е така, тъй като е непрекъснат в интервала. Лявата граница е равна на ln 2. А сега да помислим за дясната граница, при стойности на х, по-големи от 2. Това е границата на f(x) за х, клонящо към 2 отдясно. Макар че 2 попада в първия интервал, веднага след като х порасне мъничко повече от 2, ще попадне във втория интервал. Затова, когато доближаваме до 2 отдясно, реално сме във втория случай. Тук също виждаме, че има непрекъснатост за всички стойности на х не само по-големи от 2, но дори и за по-големи или равни на 2. За дясната граница можем да направим аналогичен извод, че е равна на стойността от втория случай, като заместим с х = 2. Важно е да се отбележи, че ако просто вземем f(2), то ще попадне в първия интервал, но сега се приближаваме отдясно и когато се намираме отдясно на 2, стойностите на х ще са по-големи от 2, затова ще играе вторият случай. Затова ще изчислим втория израз за х = 2. Тъй като той е непрекъснат. И така, това е равно на 2 на квадрат по натурален логаритъм от 2. Това е равно на 4 по натурален логаритъм от 2. 4 по ln 2. Получихме, че дясната граница съществува. Лявата граница също съществува. Но може би вече забеляза, че техните стойности са различни. Приближаваме се към две различни числа отляво и отдясно. Ако начертаем графиката, ще видим скок в нея. Веднага ще видим прекъсване в графиката на функцията. В този конкретен пример имаме прекъсване от първи род и границата не съществува, тъй като лявата и дясната граница имат две различни стойности. Изводът е, че границата не съществува.