If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Въведение в математическия анализ

Курс: Въведение в математическия анализ > Раздел 10

Урок 1: Дефиниране на граници и използване на обозначения за граници
Математика
Въведение в математическия анализ
Граници и непрекъснатост
Дефиниране на граници и използване на обозначения за граници
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Граници на функции: въведение

Класна стая на Google
Границите описват поведението на дадена функция близо до някаква точка, а не в самата точка. Това несложно, но важно понятие, лежи в основата на целия математически анализ.
Да разгледаме един пример, за да разберем какво представляват границите на функции. Започваме с функцията f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2.
Дадена е графиката на функцията f. Оста х е разграфена от 0 до 9. Графиката представлява права, която започва от точка (0; 2) и се издига нагоре през точките (2;4) и (4; 6), след което завършва в точка (7;9).web+graphie://cdn.kastatic.org/ka-perseus-graphie/507e8f38d9db338d657f07b535ba2ed4a8a9d206
Границата на f за x, equals, 3 е тази стойност, до която f се доближава, когато аргументът става все по-близък до x, equals, 3. На графиката това е стойността на y, до която се доближаваме, когато проследим графиката на f и се доближим все повече до точката, в която x, equals, 3.
Например, ако започнем от точката left parenthesis, 1, ;, 3, right parenthesis и се придвижим по графиката, докато доближим съвсем до x, equals, 3, то нашата стойност на y (т.е. стойността на функцията) ще се доближи съвсем до числото 5.
Дадена е анимирана графика на функцията f. Подвижна точка се движи между точка (1; 3) и точка (2,99; 4,99).
Създадено с Geogebra.
Аналогично като започнем от точката left parenthesis, 5, ;, 7, right parenthesis и се придвижим наляво, докато доближим съвсем близо до x, equals, 3, то стойността на y отново ще се доближава съвсем близо до 5.
Дадена е анимирана графика на функцията f. Подвижна точка се движи по правата между точките (5; 7) и (3,01; 5,01).
Създадено с Geogebra.
Поради това казваме, че границата на функцията f в x, equals, 3 е 5.
Върху графиката на функцията f има стрелки по протежение на правата, сочещи горе вдясно и долу вляво съответно, към точка (3; 5).
Може да попиташ каква е разликата между границата на f за x, equals, 3 и самата стойност на f за x, equals, 3, т.е. f, left parenthesis, 3, right parenthesis.
В нашия случай границата на f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 при x, equals, 3 е равна на f, left parenthesis, 3, right parenthesis, но невинаги става така. За да го разбереш по-лесно, разгледай функцията g. Тази функция се различава от f единствено по това, че е неопределена в точката x, equals, 3.
Дадена е графиката на функцията g. Оста х е разграфена от 0 до 9. Графиката представлява права, която започва от точка (0; 2) и се издига нагоре през точка (2;4) и отворена окръжност в точка (3; 5), след което завършва в точка (7;9).
Също като при f, границата на g при x, equals, 3 е 5. Това е така, защото тук също можем да се приближим много близо до x, equals, 3 и стойностите на функцията ще се приближат много близо до 5.
Върху графиката на функцията g има стрелки по протежение на правата, сочещи горе вдясно и долу вляво съответно, към отворена окръжност в точка (3; 5).
Значи границата на g при x, equals, 3 е равна на 5, но стойността на g при x, equals, 3 е неопределена! Те не са едно и също!
В това е красотата на границите: те не зависят от стойностите на самата функция при границата. Те описват поведението на функцията, когато тя се доближава до граничната стойност.
Задача 1
Това е графиката на h.
Кое е добро приближение на границата на h при x, equals, 3?
Избери един отговор:

Използваме специални обозначения за границите. Ето така записваме границата на f за x, клонящо към 3:
"границата на...""...функцията f..."↘↙lim⁡x→3f(x)↗"...за x клонящо към 3."\begin{aligned} \scriptsize\text{"границата на..."}&\qquad\scriptsize\text{"...функцията }f\text{..."} \\ \searrow\qquad&\qquad\swarrow \\ \LARGE\displaystyle\lim_{x\to 3}&\LARGE f(x) \\ \nearrow\qquad \\ \scriptsize\text{"...за }x\text{ клонящо към }3\text{."} \end{aligned}
Знакът limit означава, че търсим границата на нещо.
Изразът вдясно от limit е изразът, чиято граница търсим. В нашия случай това е функцията f.
Изразът x, \to, 3 под limit означава, че търсим границата на f, когато стойностите на x клонят към 3.
Задача 2
Това е графиката на f.
Кое е добро приближение на limit, start subscript, x, \to, 6, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis ?
Избери един отговор:

Задача 3
Кой израз представлява границата на x, squared при x, клонящо към 5?
Избери един отговор:

Чрез границите се приближаваме безкрайно близко.

Какво имаме предвид под „безкрайно близко“? Да видим стойностите на f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2, когато стойностите на x се приближават много близо до 3. (Не забравяй: тъй като се занимаваме с граници, не ни интересува самата стойност на f, left parenthesis, 3, right parenthesis тук).
xf, left parenthesis, x, right parenthesis
2, comma, 94, comma, 9
2, comma, 994, comma, 99
start color gray, start underbrace, start color black, 2, comma, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, д, о, б, л, и, ж, а, в, а, space, end text, 3, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 4, comma, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, д, о, б, л, и, ж, а, в, а, space, end text, 5, end subscript, end color gray
Виждаме, че когато стойностите на аргумента x, които са по-малки от 3, се доближават до 3, стойностите на функцията f стават все по-близки до 5.
xf, left parenthesis, x, right parenthesis
3, comma, 15, comma, 1
3, comma, 015, comma, 01
start color gray, start underbrace, start color black, 3, comma, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, д, о, б, л, и, ж, а, в, а, space, end text, 3, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 5, comma, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, д, о, б, л, и, ж, а, в, а, space, end text, 5, end subscript, end color gray
Виждаме също, че когато стойностите на x, които са по-големи от 3, се доближават до него, f става все по-близка до 5.
Забележи, че се приближихме най-близо до 5 при f, left parenthesis, 2, comma, 999, right parenthesis, equals, 4, comma, 999 и f, left parenthesis, 3, comma, 001, right parenthesis, equals, 5, comma, 001, които са на 0, comma, 001 единици от 5.
Ако искаме, можем да се приближим и още повече. Например, ако искаме да сме на 0, comma, 00001 единици от 5, ще изберем x, equals, 3, comma, 00001 и тогава ще имаме f, left parenthesis, 3, comma, 00001, right parenthesis, equals, 5, comma, 00001.
Това може да продължава безкрайно. Винаги можем да се приближим още по-близо до 5. Но всъщност точно това означава „безкрайно близко“! Тъй като в реалността не е възможно да отидем „безкрайно близко“, то чрез limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5 обозначаваме, че колкото и близо да сме до 5, винаги има по-близка стойност на x до 3, която да ни отведе още по-близо.
Ако ти е трудно да разбереш това, може би следното сравнение ще помогне: откъде знаем, че броят на целите числа е безкраен? Не сме ги преброили всичките, за да стигнем до безкрайност. Ние знаем, че те са безкраен брой, защото за всяко цяло число винаги съществува по-голямо от него цяло число. След това винаги има още едно, и още едно...
При границите е подобно, но вместо за безкрайно големи числа, мислим за безкрайно близки числа до нещо. Чрез limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5 обозначаваме, че винаги можем да се приближим още по-близко до 5.
Задача 4
xg, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 7, comma, 16, comma, 32
minus, 7, comma, 016, comma, 1
minus, 7, comma, 0016, comma, 03
minus, 6, comma, 9996, comma, 03
minus, 6, comma, 996, comma, 1
minus, 6, comma, 96, comma, 32
Кое е добро приблилжение на limit, start subscript, x, \to, minus, 7, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis?
Избери един отговор:

Още един пример: limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared

Нека да анализираме limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared, което е границата на израза x, squared, когато x клони към 2.
Дадена е графиката на функцията y = x на квадрат. Оста х е разграфена от минус 4 до 6. Графиката представлява крива. Тя е парабола, която започва от точка (минус 3; 9), спуска се през точките (минус 1; 1) до (0; 0), издига се през точка (1; 1) и завършва в точка (3; 9).
Виждаме, че колкото по-близо сме до точката x, equals, 2 на графиката, толкова стойностите на y са по-близо до 4.
Графиката на функцията y = x на квадрат е анимирана и има подвижна точка, която се издига по крива от точка (1,5; 2,25) до (1,99; 3,96) и после се спуска по кривата от точка (2,5; 6,25) до (2,01; 4,04).
Създадено с Geogebra.
Можем да разгледаме и таблица със стойности:
xx, squared
1, comma, 93, comma, 61
1, comma, 993, comma, 9601
start color gray, start underbrace, start color black, 1, comma, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, д, о, б, л, и, ж, а, в, а, space, end text, 2, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 3, comma, 996001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, д, о, б, л, и, ж, а, в, а, space, end text, 4, end subscript, end color gray
xx, squared
2, comma, 14, comma, 41
2, comma, 014, comma, 0401
start color gray, start underbrace, start color black, 2, comma, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, д, о, б, л, и, ж, а, в, а, space, end text, 2, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 4, comma, 004001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, д, о, б, л, и, ж, а, в, а, space, end text, 4, end subscript, end color gray
Виждаме също как можем да се доближим максимално близко до 4. Да предположим, че искаме да сме на по-малко от 0, comma, 001 единици от 4. Коя стойност на x, близка до x, equals, 2, можем да изберем?
Да опитаме с x, equals, 2, comma, 001:
2, comma, 001, squared, equals, 4, comma, 004001
Това е на повече от 0, comma, 001 единици от 4. Да опитаме с по-близка стойност, например с x, equals, 2, comma, 0001:
2, comma, 0001, squared, equals, 4, comma, 00040001
Това вече е достатъчно близо! Като опитваме със стойности на x, които са все по-близки до x, equals, 2, можем да се приближим още повече до 4.
В заключение limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared, equals, 4.

Границата трябва да е еднаква от двете страни.

Като се върнем към f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 и limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, виждаме как все повече се доближаваме до 5, независимо дали стойностите на xсе увеличават към 3 (това означава да „клони отляво“) или намаляват към 3 (това означава да „клони отдясно“).
Дадена е графиката на функцията f. Оста х е разграфена от 0 до 9. Графиката представлява права, която започва от точка (0; 2) и се издига през точките (2;4) и (4; 6). Стрелка, която сочи нагоре към правата в точката (3; 5) представя приближаване отляво. Стрелка, която сочи надолу към правата към точка (3; 5) представлява приближаване отдясно.
Сега вземи за пример функцията h. Стойността на y, към която се доближаваме, когато стойностите на x приближават x, equals, 3, зависи от това дали се приближаваме отляво или отдясно.
Дадена е графиката на функцията h. Оста х е разграфена от 0 до 9. Графиката представлява 2 прави. Първата права започва от точка (0; 1), издига се нагоре и завършва в отворена окръжност в точка (3; 4). Втората права започва от отворена окръжност в точка (3; 6), издига се и завършва в точка (6; 9).
Когато приближаваме x, equals, 3 отляво, функцията доближава 4. Когато приближаваме x, equals, 3 отдясно, функцията доближава 6.
На графиката на функцията h има стрелка, която представя приближаване отляво, която сочи надясно по протежение на първата права към отворена окръжност в точка (3; 4). Друга стрелка, представяща приближаване отдясно, сочи надолу и наляво към втората права към затворена окръжност в точка (3; 6).
Когато една граница доближава различни стойности от двете страни, казваме, че тази граница не съществува.
Задача 5
Това е графиката на функцията g.
Кои от границите съществуват?
Избери всички правилни отговори:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.