Граници на сложни функции: границата на външната функция не съществува

Дадени са ни две функции, които за зададени графично. Отляво е графиката на функцията g от х, а отдясно е графиката на функцията h от х. Искаме да намерим границата на функцията g от h от х за х клонящо към 1. Постави видеото на пауза и опитай да намериш тази граница. Сега да я намерим заедно. Първото нещо, което може би опита, е да намериш границата на h от х за х клонящо към 1. И каква е тази граница? Когато х клони към 1 отляво, изглежда че h от х клони към 2. Когато х клони към 1 отдясно, изглежда, че h от х клони към 2. Следователно границата на h от х е равна на 2. Да видим... След това можем да заместим тази граница в g. Колко е g от 2? g от 2 е равно на нула, но по същество изглежда, че границата не е дефинирана. Изглежда, че като приближаваме 2 отдясно, функцията g клони към нула. А когато приближаваме 2 отляво, функцията g клони към минус 2. Може би тази граница не съществува. Но ако направиш този извод, той изглежда не е достатъчно обмислен, защото можем да разгледаме тази граница от гледна точка на левите и десните граници. Да го разгледаме по този начин. Първо да намерим границата на g от h от х, когато х клони към 1 отляво. Когато разсъждаваме по този начин, ако х клони към 1 отляво ето тук, виждаме, че стойността на функцията h клони към 2 отляво. Можем да кажем, че клони към 2 отдолу. Значи аргументът на g от х клони към 2 отдолу. Аргументът на g клони към 2 отдолу. Когато аргументът клони към две отдолу, към какво клони стойността на функцията g? Изглежда, че функцията g клони към минус 2. Изглежда, че границата ще бъде равна на –2, или поне лявата граница. Сега да определим дясната граница. Коя е границата на g от h от х, когато х клони към 1 отдясно? Ще направим същото нещо. Когато х клони към 1 отдясно, изглежда, че h клони към 2 отдолу, от стойности, по-малки от 2. Значи щом аргументът клони към 2 отдолу – спомни си, стойността на функцията h е аргумент на функцията g. Ако аргументът на функцията g клони към 2 отдолу, това означава, че функцията g, отново, ще клони към минус 2. Това е един много, много интересен пример, в който границата на g не съществува, когато х клони към 2. Но като разгледаме вътрешната функция h от х, когато х клони и отляво, и отдясно към тази стойност, виждаме, че h клони към 2 отдолу. Така че ни интересува само лявата граница, когато g клони отдолу или отляво към 2, защото и в двата случая тя клони към минус 2. Следователно това е границата на функцията g. Когато лявата и дясната граница са равни на една и съща стойност, тази стойност е границата. Границата е равна на минус 2.