If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: Въведение в математическия анализ > Раздел 10

Урок 4: Пресмятане на граници чрез алгебрични свойства на границите: свойства на границите

Теорема за границите на сложни функции: при неизпълнение на условията

Представи си, че търсим границата на сложната функция f(g(x)) в x=a. Границата е равна на стойността на f(L), където L е границата на g(x) в x=a, при две условия. Първо, границата на g(x) в x=a съществува (и ако съществува, тя е равна на L). Второ, че функцията f е непрекъсната в x=L. Ако едно от тези условия не е изпълнено, не можем да примем, че границата е f(L). Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В предишното видео използвахме теоремата за граница на сложна функция, за да разгледаме конкретен пример със сложна функция. В това видео ще разгледаме още примери, за да задълбочим разбирането си по темата. Да кажем, че искаме да намерим границата на функцията f от g от х, когато х клони към нула. Постави видеото на пауза и помисли дали важи теоремата за граница на сложна функция. Първото нещо, което ще направим, е да намерим границата на g от х, когато х клони към нула – да видим дали е изпълнено първото условие на теоремата. Разглеждаме функцията g от х ето тук, когато х клони към нула отляво, изглежда, че функцията клони към 2. Когато х клони към нула отдясно, изглежда, че g клони към 2, Следователно стойността на тази граница е 2. Първото условие е изпълнено. Сега да видим второто условие – дали функцията f е непрекъсната, когато аргументът ѝ е равен на тази граница 2. Когато х е равно на 2, изглежда, че функцията f не е непрекъсната. Следователно не са изпълнени и двете условия на теоремата. Не можем да приложим теоремата директно. Но понеже не можем да използваме теоремата, това не означава, че границата задължително не съществува. Например в този случай границата реално същестува. Един начин да разсъждаваме, е, че когато х клони към нула отляво, изглежда, че g клони към 2 отгоре, и тогава аргументът на функцията f ще бъде 2. и така, ако се приближаваме към две оттук (сочи на графиката на f) изглежда, че функцията клони към нула. После можем да видим от другата страна. Ако аргументът клони към нула отдясно, ето тук, (сочи на графиката на g) изглежда, че стойността на функцията клони към две отдолу. Когато аргументът на f клони към 2 отдолу, изглежда, че стойността на f клони към нула. Значи и в двата случая стойността на функцията f клони към нула. Не можахме да използваме теоремата за граница на сложна функция, но успяхме да намерим, че границата на функцията f(g) е равна на нула. Да видим още един пример. Да кажем, че търсим границата на f от g от х, когато х клони към 2. Постави видеото на пауза и провери дали можеш да използваш теоремата. Първо търсим границата на g от х за х клонящо към 2. Когато х приближава 2 отляво, изглежда, че стойността на функцията g от х клони към минус 2. Когато х клони към 2 отдясно, изглежда, че стойността на функцията g от х клони към нула. Значи лявата и дясната граница са различни. Следователно границата не съществува. Не е изпълнено първото условие на теоремата, затова не можем да я използваме. Но както вече видяхме, само защото теоремата не е приложима, това не означава, че границата не съществува. Ако обичаш да изясняваш докрай нещата, ти препоръчвам да провериш дали границата на f съществува, като направиш подобен анализ на този, който направихме в първия пример.