Основно съдържание

Въведение в математическия анализ

Курс: Въведение в математическия анализ > Раздел 10

Урок 2: Пресмятане на граници на функции от графики

Пресмятане на граници на функции от графики

Най-добрият начин за осмисляне на границите е чрез използване на графики. Научи как да анализираш графично границите и виж някои случаи, в които граница не съществува.

Важно е да различаваш стойността, към която се доближава една функция (наричаме това граница) от стойността на самата функция. Графиките са чудесен начин за разбиране на тази разлика.

В горния пример виждаме, че стойността на самата функция е неопределена в дадената точка, но стойността на границата е приблизително

0, 25

Не забравяй, че така можем да намерим само приближение, но не и точната стойност. Можем да увеличим още повече мащаба, за да намерим по-добро приближение, ако искаме.

Примери

На примерите по-долу са показани интересни случаи, в които се използват графики за намиране на граници. В някои от примерите стойностите на границата и на самата функция са равни, но в други от примерите не са.

Понякога стойностите на границата и на функцията са равни.

Задача 1

Кое е добро приближение на $lim_{x \to 1} g (x)$ ‍ ?

Но понякога границата не е равна на стойността на функцията

Когато си имаш работа с частично определена функция е възможно да получиш графика, подобна на тази отдолу.

Задача 2

Кое е добро приближение на $lim_{x \to 1} g (x)$ ‍ ?

[Какво означават кръгчетата?]

Извод: възможно е стойността на функцията да е различна от стойността на нейната граница.

Това, че функция не е определена за дадена стойност на $x$ ‍ не означава, че тя няма граница там.

„Дупките“ в графиките се случват при рационални функции, които стават неопределени, когато техните знаменатели са нула. Ето един класически пример:

В този пример границата изглежда е

1

, защото натам изглежда клонят стойностите на

y

, когато стойностите на

x

клонят към

0

. Няма значение, че функцията е неопределена за

x = 0

. Границата въпреки това съществува.

Ето още една задача, която да опиташ:

Задача 3

Кое е добро приближение на $lim_{x \to - 4} f (x)$ ‍ ?

Надграждане на основната идея: Стойността на функцията за

x = - 4

не е от значение за намирането на границата. От значение е само да се намери до какво стойностите на

y

се доближават, когато приближаваме все повече

x = - 4

И обратното, когато функцията е определена за дадена стойност на $x$ ‍, това не означава, че границата ѝ там задължително съществува.

Както и в предишния пример, на тази графика е показан един случай на частично определена функция. Забележи как тя се приближава към различни стойности на

y

, когато се доближаваме от двете страни към

x = 3

Задача 4

Кое е добро приближение на $lim_{x \to 3} g (x)$ ‍?

Искаш да се упражняваш още? Опитай това упражнение.

В днешно време има невероятни калкулатори за графики.

Калкулаторите за графики като Desmos могат да ти дадат представа какво се случва със стойностите на

y

, когато се доближаваш до определена стойност на

x

. Опитай да използваш калкулатор за графики, за да намериш приближение на тези граници:

\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \\ lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2} - 9} \end{aligned}

И в двата случая функцията не е определена за избраната стойност на

x

, но границата все пак съществува и можем да намерим нейно приближение.

Въпроси за обобщение

Задача 5

Винаги ли е вярно, че $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ ‍?

Задача 6

Кое твърдение описва най-добре начина, по който графиките ни помагат да си представим границите?

(Избор А)
Графиката може да ни помогне да намерим приблизителната стойност на границата, като ни показва към каква крайна стойност на $y$ ‍ се доближаваме, когато отиваме все по-близо до дадена стойност на $x$ ‍ (от двете страни).
(Избор Б)
Графиката е чудесен инструмент, с чиято помощ можем винаги да намерим точната стойност на границата.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.