Връзка между граници и поведение на графиката

Дадена ни е графиката на функцията у равно на g(x). Търся каква е границата на g(x), когато х клони към 5. Вече много пъти сме намирали такива граници. Да помислим към какво се стреми g(x), когато х клони към 5 отляво. Виждаме, че g(x) се стреми към –6. Когато х клони към 5 отдясно, g(x) изглежда пак се стреми към –6. От тази графика намираме приблизително, че когато х клони към 5, g(x) се стреми към –6. Не е от значение на колко е равна самата функция g(5). Тук тя е с различна стойност. Но смисълът на това видео е да разберем какво представлява границата. Границата описва само поведението на функцията в околностите на дадена точка. Тя не ни казва какво точно се случва в тази точка, в случая, колко е g(5), и не ни казва нищо особено за останалата част от функцията, другите части на графиката. Например мога да начертая много различни функции, за които границата при х, клонящо към 5 да е равна на –6 и те да се различават значително от g(x). Например границата на f(x), когато х клони към 5 е равна на –6 и мога да построя такава f(x), за която това да е вярно и тя да изглежда съвсем различно от g(x). Ако желаеш, остави видеото на пауза и се опитай да начертаеш или скицираш такава функция. Тук най-важно е поведението на функцията, когато х клони към 5 от двете страни, отляво и отдясно. В тази зона функцията трябва да се стреми към -6. Например сега ще начертая една функция, ето тази f(x), която изглежда така и дори е определена тук, после се променя така. Тя ще свърши работа. Когато се приближаваме отляво, функцията се стреми към –6, а когато приближаваме отдясно, тя се стреми също към –6. Може да имаме и такава функция, нека я наречем h(x), чиято граница за х, клонящо към 5, също да е равна на –6. Тя може да е определена дотук, а после имаме точка на прекъсване, после да продължи. Тя може изобщо да не е определена за тези стойности, а после тук долу да е определена за всяко х, по-голямо или равно на 4. Функцията просто преминава през –6. Забележи, как всички тези функции за х, клонящо към 5, имат определена граница и тя е равна на –6, но тези функции изглеждат много, много различно. Друго важно наблюдение е, че за дадена функция, нека сега изтрия тези, често се търси да намерим границите, когато х клони към някаква интересна стойност. Например тук х клони към 5 и интересното на 5 е, че това е точка на прекъсване. Но можеш да избереш коя да е точка, в която да потърсиш граница на тази функция. Например можеш да вземеш границата на g(x), когато х клони, не е равно, а клони към 1. Колко е тази граница? Остави видеото на пауза и опитай да я намериш. Да видим сега. Когато х клони към 1 отляво, изглежда, че функцията се стреми към тази стойност. Когато х клони към 1 отдясно пък, функцията се стреми към тази стойност тук. Това е равно на g от 1, пишем тук g(1). Можем да направим заключението, че това е разумен резултат, съдейки по графиката. Самата стойност на g(1) изглежда е около –5,1 или –5,2, но по-скоро –5,1. Сега да потърсим границата на g(x) при х, клонящо към числото Пи. Пи е някъде тук. Когато х го доближава отляво, функцията клони към тази стойност, която изглежда доста близка до онази, която намерихме преди малко. Когато приближаваме отдясно, доближаваме това число. В този случай отново границата е равна на стойността на функцията, g(Пи). Тук нямаме интересни точки на прекъсване или нещо подобно. Значи това са двата извода: че можеш да построиш много различни функции, които имат една и съща граница в дадена точка; и че за дадена функция можеш да потърсиш граница при много различни точки, всъщност в безкраен брой точки. Важно е да се посочи това, колкото и да е очевидно, защото често ни се показват избрани граници само в такива точки, където става нещо странно.