Приблизително намиране на граници чрез таблици

В това видео ще се опитаме да получим представа за границата при х, клонящо към 3 на израза х^3 – 3х^2, цялото върху 5х – 15. Когато казвам да получим представа, всъщност ще видим какви стойности приема този израз, когато х се приближава все по-близо до 3. Може да опиташ да видиш какво се случва с израза, когато х е равно на 3. Той ще стане 3 на трета минус 3 по 3 на втора върху 5 по 3 минус 15. Значи при х=3 изразът става с числител 27 - 27, или нула. Знаменателят е 15 - 15, също нула. Значи изразът всъщност е неопределен за х=3. Получихме тази неопределена форма, 0 делено на 0. Не забравяй, че макар изразът да не е определен, той може да има граница и нека опитаме да си я представим. За да го направя, ще построя таблица. Нека я запиша тук. Всъщност ще са две таблици. Тук ще е х, а тук изразът х^3 –3х^2 делено на 5х –15. Ще го направя и втори път и след малко ще ти кажа защо. Тук имам х, а тук имам х^3 минус 3х^2 върху 5х – 15. Ще използвам две таблици, макар да не е задължително, можех да се вместя и в една, но се надявам така да стане по-ясно това, което ще направя. В лявата таблица ще сложа стойности на х, които се приближават все повече до 3 откъм лявата страна. Тези стойности са по-малки от 3. Например започвам с 2,9 и ще намеря на колко е равен изразът за х=2,9. После ще се приближа малко по-близо, ще взема 2,99. После още по-близо. Можем да използваме 2,999. Един начин на мислене е да видим на колко е равен този израз, когато се доближаваме все повече до 3 и така да определим приблизително лявата граница. Границата отляво. Защо казвам, че е от ляво? Ако мислиш за това на координатната система, тези стойности на х се намират отляво на 3, а ние се приближаваме все повече. Всъщност се движим надясно, но тези стойности на х се намират от лявата страна на 3, те са по-малки от 3. Също така, за да съществува тази граница, трябва да се приближаваме до същата стойност и от двете страни. Както отляво, така и отдясно. Затова трябва също да потърсим приблизителната граница и от дясната страна. Какви ще са тези стойности? Това ще са стойности на х, по-големи от 3. Можем да започнем от 3,1 и да продължим с малко по-близка, като стойността 3,01. После ще се приближим още повече до 3. Ще вземем числото 3,001. Със всяко приближаване до числото 3 получаваме по-добро приближение или по-добра представа за границата, към която отиваме. Ще използвам калкулатора, за да пресметна това. Можем и да продължим тук с числа като 2,99999 и 3,00001. Една основна идея, която искам да подчертая преди изобщо да пресметна тези изрази е, че някои хора, като говорят за границата от двете страни или границата отляво или границата отдясно, си представят, че границата отляво е с отрицателни стойности, а тази отдясно е с положителни. Но тук виждаш, че границата отляво взима стойности отляво на нашето х, за което търсим границата. Тези стойности не са отрицателни, те просто се доближават до 3 откъм по-малките от него числа. Тук пък се доближава тройката откъм по-големите от 3 числа. Нека сега да запълним таблицата. Ще го направя по-бързо, за да не ме чакаш да набирам всичко в калкулатора. Въз основа на това, което виждаме тук, мога да обобщя, че тази граница се приближава до около 1,8. Дали тя е равна на 1,8? Както казах, по-натам ще можем и да я намираме с точност. Но ако искаш по-голяма точност, засега можеш да изчислиш израза за все по-близки стойности.