Определяне на едностранни граници от таблични данни

Функцията f е определена за реалните числа. Тази таблица съдържа избрани стойности за f. Имаме тези стойности на х в първия ред и съответните им стойности на f(x). Кое е добро приближение за границата на f(x) при х, клонящо към 1 отляво? Остави видеото на пауза и опитай самостоятелно. Нека сега да решим задачата заедно. Най-важното, което трябва да разберем най-напред, e как да разбираме означенията: х клони към 1 и този малък минус тук. Това не означава, че х клони към минус 1. Това не е минус 1. Макар и да е лесно да се сбърка, това не е друг начин да се запише минус 1. Не се бъркай. Това всъщност означава, ще сложа стрелка тук, това е границата на f(x) за х, клонящо към 1 от лявата посока. Това е лява граница. Как разбрахме, че е лява? Това ни показва този малък минус тук. Той обозначава, че се доближаваме до 1 откъм по-малките стойности. Ако се приближавахме към 1 отдясно, откъм по-големите стойности, тук щеше да има знак плюс. Ето тук. Нека помислим. Търсим границата, когато х клони към 1 отляво. За наше щастие, таблицата ни дава стойности на х, които приближават 1 отляво: 0,9 вече е доста близо до 1, после имаме и по-близки числа до лявата страна на 1. Забележи, че всички тези са по-малки от 1, но се приближават все повече до 1. Това, която искаме да видим, е стойността, до която се доближава f(x), когато х клони към 1, когато се приближава все по-близо до 1 отляво. Тези са отляво на 1. Най-важно е да разберем, че когато говорим за граница в обшия смисъл, тя е не само от едната посока, трябва да видим какво става и отляво, и отдясно. Сега се търси само лява граница, затова ще разгледаме само тези числа, които са по-малки от 1. Дори не ни е нужно да гледаме f(x) за х=1, за да не се бъркаме. Често се случва границата да приближава съвсем различно число, отколкото стойността на самата функция в тази точка. Да погледнем тук. За х=0,9 f(x) е 2,5. Като се доближим още повече от ляво, то става 2,1. Като се доближим още повече до 1 отляво, функцията става все по-близка до 2. Затова, добро приближение на границата на f(x) при х, клонящо към 1 отляво, изглежда, че е някъде около 2. Не можем да знаем със сигурност, затова казваме, че е добро приближение. Може и да се доближава до 2,01 или например до 1,999. В Кан Академия такива задачи обикновено са тестови, в които да избереш най-добрия от няколко възможни отговора. При тях нямаше да е честно да има възможни отговори 1,999 и 2,01. Но ако търсиш с точност до цяло число, тогава 2 е добро приближение на тази граница, но тя не е задължително да е 2. Може би нещо като 2,01258 да се окаже точната стойност на границата. Сега да опитаме с друг пример. Тук изглежда, че има добро приближение за границата, когато приближаваме това число отляво. Сега е дадено, че функцията f е определена за реалните числа. Чрез тази таблица са дадени избрани стойности на f, подобно на предишния пример. Намери добро приближение на границата, когато х клони към –2 отляво. Тук имаме два знака минус. Първият ни казва, че ни интересува какво става, когато х клони към отрицателното число минус 2. Вторият минус показва, че се приближаваме отново отляво. За наш късмет тук са дадени стойности на х, които доближават минус 2 отляво. Отново, тук имаме х, клонящо към –2 от лявата страна. Ето какво се случва тук. Имаме тези числа. Забележи, че започваме от –2,05 и през –2,01 и –2,002 се доближаваме все повече до –2. Това е приближаване отляво, защото тези числа са по-малки от –2, но се доближават все повече и повече до –2. Да видим, когато сме най-далеч, f(х) е –20. Малко по-близо и то вече става –100. Още по-близо става –500. Търсим добро приближение, но не можем да сме сигурни само от няколко точки за тази функция. Като наблюдаваме развитието на стойностите, когато х се приближава все повече до –2, без да го достига съвсем, изглежда, че функцията става неограничена. Изглежда, че тя се стреми към плюс безкрайност. На практика изглежда, функцията тук е неограничена или ако въпросът е тестови, на практика може да се каже, че лявата граница при х, клонящо към –2 не съществува. (Или е + безкрайност) Пиша: не съществува. (+ безкрайност) Ако се търси дясната граница, ако се пита за границата, когато х клони към –2 от дясната страна, тогава може да видиш тези стойности, приближаващи –2 от дясната страна. Ето тези числа приближават към –2 отдясно. Не забравяй, когато търсиш граница да не се разсейваш от стойността на самата функция в тази точка. Това, което търсим, е стойността, която функцията приближава, когато х клони към даденото число, в случая към –2 от дясната страна. Когато се приближаваме все повече до –2 откъм по-големите числа, изглежда, че функцията става все по-близка до 4, което в случая е и стойността на самара функция за х = –2. Но това число изглежда и да е добро приближение. И тук не можем да знаем нищо с абсолютна сигурност, съдейки само по избрани точки, но това е добро приближение за границата. В общия случай, когато функцията се стреми към различни стойности отляво, а след това и от дясно, тогава можеш да кажеш, че в тази точка границата не съществува. Виждали сме това и при други примери.