Основно съдържание
Въведение в математическия анализ
Курс: Въведение в математическия анализ > Раздел 10
Урок 12: Отстраняване на прекъсванияОтстраними точки на прекъсване (разлагане на множители)
Сал намира стойността, която функцията f(x)=(6x²+18x+12)/(x²-4) трябва да има в x=-2, за да бъде непрекъсната в тази точка. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Функцията f(x) е равна на
6х² + 18х + 12 върху х² – 4
и е неопределена за х равно на
плюс или минус 2. Виждаме защо е така,
когато х е равно на +/– 2, то х² ще е равно на +4 и като извадим 4,
ще получим нула в знаменателя. Това е неопределеност. Няма да знаем
какво ще се получи, тъй като не сме дефинирали
деление на 0. Пита се каква стойност
може да се зададе на f(–2), за да стане функцията f
непрекъсната в тази точка? За да помислим над това, нека първо опростим f(x). Просто ще го преобразувам, като опростявам в движение. В числителя мога да изнеса
6 пред скоби, има го във всеки от членовете: това е 6 по, в скобите остава
х² + 3х + 2. А в знаменателя имаме разлика от квадрати. Това е (х + 2) по (х – 2). После можем да разложим
този израз на множители. Това е равно на 6 по... ще използвам различен цвят... Имаме две числа,
чието проиведение е 2, а сборът им е 3. Най-очевидната двойка
такива числа е 2 и 1. И така, числителят е 6 по
(х + 2) по (х + 1). Да проверим,
като умножим обратно ще получим х² + 3х + 2,
вярно е. Всичко това е разделено
на (х + 2) по (х – 2). Дадено ни е, че х е различно
от –2. Затова можем да разделим
и числителя, и знаменателя на х + 2. Причината да уточня
това ограничение е, че ако х можеше да е
равно на –2, тогава х + 2 щеше да
има стойност 0 и такова съкращаване
да е невъзможно. Нямаше да става. Знаем до какви неприятности води
делението на нула. Но тук можем
смело да опростим, като разделим числителя и знаменателя на х + 2
с уточнението, че х е различно от –2. Нашата функция,
след като разделим на х + 2 в числителя и в знаменателя, стана равна на 6 по (х + 1)
върху (х – 2). Трябва да добавим и граничението, защото променихме функцията. Този израз тук
вече е напълно дефиниран за х = –2 и за да е еквивалентен
на оригиналната функция, добавяме това ограничение, че х е различно от –2. Очевидно е, че х
тук е различно и от 2. Този израз остава недефиниран
за плюс 2, защото ще доведе
до деление на 0. Можем да обобщим,
че х е различно от +/–2, за да сме много точни. Но в задачата се пита
каква стойност да дадем на f(–2), за да направим функцията
непрекъсната в тази точка? Получихме, че функцията е напълно
еквивалентна на този израз, с тази разлика,
че не е дефинирана за х = –2. Затова и трябваше да сложим
ограничението, за да направим израза еквивалентен
на оригиналната функция. Но за да предефинираме функцията, за да стане непрекъсната
в тази точка, то трябва да зададем f(x)
да е равно на стойността на този израз, когато х е равно на –2. Да помислим за това. Ще имаме 6 по (–2 + 1)
върху (–2 – 2). Това е равно на 6 по –1, което е –6, върху –4.
Това е 3/2. За да допълним
дефиницията на f(x), ще кажем, че f(x) = 6x² + 18x + 12
върху х² – 4 за всяко х, различно от +/–2 и f(x) = 3/2 за х = –2. Сега тази функция ще е същата като тази тук. Новата f(x) има нова, разширена
дефиниция, която е еквивалентна на израза 6 по (х + 1) върху (х – 2). Точният отговор
на поставения въпрос „каква стойност
да зададем на f(–2), за да бъде f(x) непрекъсната
в тази точка?‟ ще бъде f(–2) = 3/2.