If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Стратегия за намиране на граници

Има много методи за намиране на граници, които се прилагат при различни условия. Важно е да се познават всички тези техники, но също е важно да се знае кога може да се приложи всяка от тях.
Тази полезна диаграма може да ти помогне при намирането на граници.
На диаграмата има варианти от A до H, както следва. Стъпкта A, директно заместване. Опитай да изчислиш функцията директно. Изчисляването на стойността на f от a води до варианти от B до D. Вариант B: f от a = b, дробна черта, 0, където b е различно от нула. Полученият резултат е асимптота (вероятно). Пример: границата на 1 върху, дробна черта, x минус 1 в знаменателя, като х клони към 1. Разгледай графиката или таблични стойности на функцията, за да научиш повече за функцията, когато x = a. Вариант C: f от a = b, като b е реално число. Резултатът е границата (вероятно). Пример: границата на x на квадрат, когато x клони към 3 = 3 на квадрат = 9. Вариант D: f от a = 0 върху 0 в знаменателя. Резултатът е недефиниран. Пример: границата на, дробна черта, x на квадрат, минус x, минус 2; в знаменателя x на квадрат, минус 2 по x, минус 3, край на дробта, като x клони към минус 1. Ако получиш вариант D, опитай да преработиш границата в еквивалентен вид. Това води до варианти от E до G. Вариант E: разлагане на множители. Пример: границата на, дробна черта, х на квадрат, минус х, минус 2 в числителя, върху х на квадрат минус 2 по х, минус 3 в знаменателя, край на дробта, като x клони към минус 1, което може да се представи като границата на, дробна черта, в числителя х минус 2, в знаменателя х минус 3, край на дробта, за х клонящо към минус 1, за което използваме разлагане на множители и съкращаване на еднаквите множители. Вариант F: спрегнати. Пример: границата на, дробна черта, в числителя корен квадратен от х, край на корена, минус 2, в знаменателя х минус 4, край на дробта, за х клонящо към 4, което може да се представи като граница на, дробна черта, 1 делено на корен квадратен от x, край на корена, + 2, край на дробта, за x клонящо към 4, с използване на спрегнати и съкращаване. Вариант G: тригонометрични тъждества. Пример: граница на, дробна черта, синус от x делено на синус от 2 по х, край на дробта, за х клонящо към 0, което може да се представи като, начало на дробна черта, 1 делено на 2 по косинус от х, край на дробта, за х клонящо към 0, като се използват тригонометричните формули. При вариантите от E до G, опитай да изчислиш границата в новия ѝ вид, като се върнеш обратно в стъпка A, директно заместване. Последен вариант H, приблизително изчисляване: когато всички други варианти са неприложими, може да се определи границата приблизително въз основа на графиката на функцията или таблични данни за нейните стойности.
Ключова стъпка 1: Директното заместване винаги е първият метод. Използвай други методи, само когато то се провали: иначе може да изхабиш повече усилия от нужното. Например ще бъде излишна работа да разлагаш израз до по-проста форма, ако директното заместване ще свърши работа и без разлагането.
Ключова стъпка 2: Има голяма разлика в това да получиш b/0 и 0/0 (където b0). Когато получиш b/0, това означава, че границата не съществува и вероятно не е дефинирана (асимптота). За сравнение, когато получиш 0/0 това означава, че нямаш достатъчно информация, да определиш дали границата съществува, което се нарича неопределена форма. Ако случаят е такъв, то имаш да свършиш повече работа, като в този случай се прилага долната половина на схемата за намиране на граници.
Забележка: има мощен метод за намиране на граници, наречен Правило на Лопитал, което ще научиш по-късно. То не се разглежда тук, защото още не сме учили за производни.

Упражнявай се с директно заместване

Задача 1
g(x)=x3x+53
Искаме да намерим limx4g(x).
Какво се получава, когато приложим директно заместване?
Избери един отговор:

Задача 2
h(x)=1cos(x)2sin2(x)
Искаме да намерим limx0h(x).
Какво се получава, когато приложим директно заместване?
Избери един отговор:

Упражнявай се с неопределената форма

Задача 3
Джъстин опитал да намери limx1x+1x2+3x+2.
Чрез директно заместване той получил 00.
Кой метод би бил подходящ за следващата стъпка на Джъстин?
Избери един отговор:

Задача 4
Катерина се опита да намери limx34x+284x+3.
Чрез директно заместване тя получи 00.
Кой метод би бил подходящ за следващата стъпка на Катерина?
Избери един отговор:

Да сглобим общата картина

Задача 5
Учителят на Джил ѝ дава долната диаграма и я моли да намери границата limx5f(x), където f(x)=x225x210x+25.
Диаграма с варианти от A до H, както следва. Стъпка A, директно заместване. Опитай да заместиш във функцията директно. Изчисляването на f от води до вариантите от B до D. Вариант B: f от a = начало на дробна черта, b делено на 0, край на дробната черта, като b е различно от нула. Резултатът е асимптота (вероятно). Вариант C: f от a = b, където b е реално число. В резултат на това определяме границата (най-вероятно). Вероятно D: f от a = начало на дробна черта, 0 делено на 0, край на дробната черта. Резултатът е недефинирана форма. От вариант D, опитай да преработиш границата в еквивалентен вид. Това води до варианти от E до G. Вариант E: разлагане. Вариант F: използване на спрегнати двучлени. Вариант G: тригонометрични тъждества. При използване на вариантите от E до G опитай да преобразуваш границата в еквивалентен вид, след което се върни в стъпка A, директно заместване. Другият вариант е H, приблизително определяне: когато всичко друго е неприложимо, границите могат да се определят приблизително чрез графиката на функцията или от таблица със стойности на функцията.
Размести картите по-долу, за да покажеш последователността от стъпки за намиране на тази граница.
А. Директно заместване
B. Асимптота
C. Границата е намерена
D. Неопределена форма
Е. Разлагане на множители
F. Използване на спрегнати двучлени
G. Тригонометрични тъждества
H. Приближение

Задача 6
Учителят на Фенян му дава долната диаграма и иска от него да намери границата limx3f(x), където f(x)=2x51x3.
Диаграма с варианти от A до H, както следва. Стъпка A, директно заместване. Опитай да заместиш във функцията директно. Изчисляването на f от води до вариантите от B до D. Вариант B: f от a = начало на дробна черта, b делено на 0, край на дробната черта, като b е различно от нула. Резултатът е асимптота (вероятно). Вариант C: f от a = b, където b е реално число. В резултат на това определяме границата (най-вероятно). Вероятно D: f от a = начало на дробна черта, 0 делено на 0, край на дробната черта. Резултатът е недефинирана форма. От вариант D, опитай да преработиш границата в еквивалентен вид. Това води до варианти от E до G. Вариант E: разлагане. Вариант F: използване на спрегнати двучлени. Вариант G: тригонометрични тъждества. При използване на вариантите от E до G опитай да преобразуваш границата в еквивалентен вид, след което се върни в стъпка A, директно заместване. Другият вариант е H, приблизително определяне: когато всичко друго е неприложимо, границите могат да се определят приблизително чрез графиката на функцията или от таблица със стойности на функцията.
Размести картите по-долу, за да покажеш последователността от стъпки за намиране на тази граница.
А. Директно заместване
B. Асимптота
C. Границата е намерена
D. Неопределена форма
Е. Разлагане на множители
F. Използване на спрегнати двучлени
G. Тригонометрични тъждества
H. Приближение

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.