Доказателство чрез теоремата за междинните стойности: таблица

"Таблицата ни дава избрани стойности от непрекъснатата функция f." Това изглежда добре. "Може ли да използваме теоремата за междинните стойности, за да докажем, че уравнението f(x) = 0 има решение, за което 4 ≤ x ≤ 6. Ако да, то напиши доказателството." Спри видеото и провери дали можеш да помислиш върху задачата самостоятелно, преди да го направим заедно. Добре, нека да онагледим какво се случва и да мислим визуално за теоремата за междинните стойности. И така, ако това е моята ос y, нека да кажем, че това е моята ос x, точно ето тук. Дадени са ни няколко точки ето тук. Знаем, че когато x = 0, то f(x) = 0. Нека да ги начертая. Имаме тази точка. За x = 2, y или f(x), защото y = f(x), ще бъде равна на –2. Следователно ето тук имаме –2. За x = 4, броим три, четири, то f(x) = 3. Едно, две, три. Правя го в малко по-различен мащаб, за да мога да покажа всичко. А когато x = 6, или пет, шест, то f(x) = 7 Три, четири, пет, шест, седем. Това е точно ето тук. Също така ни казват, че дадената функция е непрекъсната. Един интуитивен начин да разглеждаш непрекъснатостта е, че мога да свържа всички тези точки, без да повдигам молива си. Функцията би могла да изглежда например... просто ще направя нещо, тоест може да изглежда като това, което току-що начертах. Би могла дори да има още по големи колебания, но по този начин изглежда моята функция f. Теоремата за междинните стойности ни казва да изберем затворен интервал. И тук избираме затворен интервал от 4 до 6, така че нека да го погледна. Това е едно, две, три, четири ето тук, това тук е шест, така че ще разглеждаме ето този затворен интервал. И теоремата за междинните стойности ни казва, че ако функцията е непрекъсната в този затворен интервал, то тя ще приема всяка стойност между f(4), което в този случай, ако това е f(4), то е равно на 3, и също f(6), което е равно на 7. f(6), което е равно на 7. Някой би ни попитал: "Ще има ли решение, например за f(x) = 5 в този интервал?". Да. В този интервал за някоя стойност x ще има f(x) = 5. Но това, което ни питат, не e за дадено f(x), което ще е равно на нещо между тези две стойности. Питат ни за f(x) = 0. Нула не се намира между f(4) и f(6), така че тук не може да приложим теоремата за междинните стойности. Ако искахме да запишем това, бихме могли да кажем, че f е непрекъсната, но 0 не е между f(4) и f(6). Следователно теоремата за междинните стойности не е приложима. Добре, нека да решим втората подточка. Питат ни: "Дали можем да използваме теоремата за междинните стойности, за да докажем, че има такава стойност c, че f(c) = 0, за която 2 ≤ c ≤ 4? Ако да, то напиши доказателството." Дадено е, че f е непрекъсната, така че нека да го запиша. Дадено ни е, че f е непрекъсната и искаме да се намираме в този интервал, но ни казват, че функцията е непрекъсната по принцип. Тогава можем ли просто да погледнем какви са стойностите на функцията в тези две точки? Интервалът стига от 2 до 4, т.е. става дума за този затворен интервал тук. Знаем, че f(2) ще бъде равно на –2. Виждаме го в таблицата. А колко е f(4)? f(4) = 3. Следователно нулата е между f(2) и f(4). И може да го видиш на графиката ето тук. Няма как да чертаеш между тази точка и тази точка без да повдигаш молива си, без да пресичаш оста x, или без да означиш къде функцията е равна на нула. Следователно може да кажем, че според теоремата за междинните стойности съществува стойност c, такава че f(c) = 0, и 2 ≤ c ≤ 4. Всичко, което реално заявяваме, е, че следва да съществува стойност c, и начина, по който я означих тук, т.е. с се намира точно между 2 и 4, и f(c) = 0. Всичко това изглежда сложно и малко объркващо понякога, но ни показва нещо много логично. Ако следва да стигна от тази точка до тази точка, без да повдигам молива си, то ще получа за f(x) всяка стойност между f(2) и f(4) поне веднъж.