If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Обратни матрици и матрични уравнения

В други видео уроци сме виждали как матриците могат да представляват системи от уравнения. Учихме също, че матриците, чиято детерминанта е нула, нямат обратни матрици. В този урок ще свържем тези две неща и ще видим как можем да решаваме системи от уравнения с матрици. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В предишно видео разгледахме как можем да представим една система от уравнения като матрично уравнение. Тук са дадени две уравнения с две неизвестни – х и у, и нека да приемем, че знаем стойностите на коефициентите а, b, c, p, d и q. Можем да представим такъв вид система от уравнения като уравнение с матрица и вектори като това, в което коефициентите на х са в първия стълб, а коефициентите на у са във втория стълб. После виждаме неизвестните променливи, които искаме да намерим, представени като този вектор тук, така че това можем да си го представим като двумерен вектор,съставен от променливите. Знаем, че можем или да разглеждаме това като трансформация на този вектор с неизвестните, при която получаваме вектора с известните компоненти [p; q], или можем да си го представим като умножение на матрици. Когато умножим този вектор по тази матрица, получаваме вектора [p; q]. В други видеа сме разглеждали понятието обратни матрици. Например, ако наречем тази матрица А, можем да си представим, че тук виждаме матрицата А, умножена по вектора [x; y], ще го запиша по този начин, равно на вектор [p; q]. Ще използвам само един цвят засега за по-голямо удобство. Разглеждахме също, че произведението на обратната матрица със самата матрица дава единичната матрица. Един начин за решаване на това уравнение с матрица и вектори е да опитаме да умножим двата множителя отляво по матрицата А обратна. Ако тук имаме А обратна, ако умножим по А обратна тук, какво ще се случи? Ако приемем, че матрицата А обратна съществува, което по същество е целта на това видео, ако А обратна съществува, тогава произведението на двете матрици ще ни даде единичната матрица. ( на англ. се записва като I, а у нас като Е) Това е просто матрицата, която, ако се опитаме да трансформираме нещо, или ако умножим нещо по нея, ще получим същото нещо, което имаме в началото. Когато имаме матрица с размер 2 х 2, тогава единичната матрица изглежда ето така. (записва я горе вдясно) После отдясно умножаваме матрица 2 х 2 по вектора [p; q]. Така отляво имаме единичната матрица по вектора [x; y], което ни дава просто [x; y], а отдясно знаем какво се получава. По този начин можем да решим системата, когато е представена по този начин. Но това ни подсказва как да определим кога това уравнение може да се реши. Когато то може да се реши, имаме ситуация, в която тази матрица е обратима. Когато не може да се реши, тогава имаме ситуация, в която не съществува обратна матрица, когато тази матрица А няма матрица А обратна. Ако се върнем към наученото в предишните уроци по алгебра относно решаването на системи от уравнения, знаем, че има два случая, в които получаваме, че системата или няма решение, или има безкрайно много решения. Ще начертая една координатна система ето тук. Знаем, че правите имат различен наклон. Едната права изглежда ето така, после имаме друга права, която изглежда ето така. Тъй като имат различни наклони, те ще се пресекат в точно една точка. Две прави с различни наклони се пресичат в точно една точка. Случаят, при който системата няма решение, се получава, когато правите имат еднакъв наклон. Това са успоредни прави, които не се пресичат. Друг странен случай при решаване на системи от уравнения се получава, когато правите имат еднакъв наклон и съвпадат една с друга. Това би изглеждало ето така. Няма конкретни стойности на х и на у, а по същество има безкрайно много стойности на х и на у, които удовлетворяват уравненията. Това са двата случая, когато не можем да намерим ясни, точни, конкретни решения на системата от уравнения. Ако се върнем в света на матриците, когато не намираме матрица А обратна, такава, че при умножаването по вектора [p; q] да получим хубаво, прецизно решение, и в двата от тези случаи, в които двете уравнения имат еднакъв наклон. Сега да помислим какво знаем за коефициентите а, b, c, d в случая, когато имаме еднакъв наклон. Ако опитаме да преработим горното уравнение във вида по дадени наклон и пресечна точка с Оу, как ще изглежда това уравнение? Можем да извадим а по х от двете страни на уравнението. Ще получим нещо такова: b по у, равно на р, минус а по х. Просто извадих а по х от двете страни. Сега можем да разделим двете страни на b, получаваме у равно на р върху b, минус а върху b, по х. В това първо уравнение виждаме, че наклонът е минус а, върху b. А колко е наклонът във второто уравнение? По същия начин, ако направим същото, изваждаме с по х от двете страни и после делим двете страни на d, получаваме у равно на q върху d, минус с върху d, по х. Виждаме, че наклонът е равен на минус с върху d. В тези странни случаи, не са странни, но в тези случаи, в които не получаваме хубави, уникални решения, са тези, в които тези наклони са равни помежду си. Имам предвид случаи, в които минус а върху b е равно на минус с върху d. За да стане по-ясно, нека кажем, че умножим двете страни на това уравнение по минус b по d, за да се отървем от тези знаменатели. Нека да го направя. Умножавам по минус 1, за да премахна минусите, минус b по d. Отляво b се съкращава с b, минус по минус дава плюс, получаваме а по d. От дясната страна минусите се съкращават, d изчезва, и остава с по b. Друг начин да разглеждаме това е, а по d, минус c по b, равно на нула. Когато а по d, минус c по b е равно на нула, тази система от уравнения няма уникално решение. Може би сега ти просветва, защото а по d, минус с по b е равно на детерминантата на матрицата А. Значи това е вярно само в тези случаи, в които... тогава и само тогава, когато детерминантата на матрицата А е равна на нула. Ето по този начин имаме много добър критерий за това кога не съществува хубаво, несъмнено решение на система от уравнения, която е представена като матрично уравнение като това. Тогава няма хубаво решение, уникално решение – когато детерминантата на матрицата А е равна на нула. И понеже няма решение на системата от уравнения, тогава не можем да намерим матрицата А обратна, защото ако имахме А обратна, можехме просто да умножим по нея. Така че в този случай, в който това ще бъде вярно само тогава – аз не го доказах задълбочено, но се надявам, че получи поне малка представа – това е случаят, в който не съществува матрицата А обратна. Това е много интересно. В предишно видео разгледахме матрицата А като трансформация и как детерминантата ѝ ни дава коефициента на мащабиране на площите. Но когато детерминантата е нула, това означава, че взимаме двумерни площи и ги мащабираме до нулева площ. Тогава е много трудно да се върнем обратно, което би станало с помощта на матрицата А обратна. Тук получихме същия резултат, без да разглеждаме матрицата А като трансформация, а като я разгледахме като начин за представяне на система от линейни уравнения по този начин. Пак повтарям – стигнахме до същия извод – че когато детерминантата на матрицата А е равна на нула, тогава няма да получим хубаво, чисто решение, защото не същества матрицата А обратна.