Обратими матрици и детерминанти

Сега ще разгледаме по-задълбочено матриците и обратните на тях матрици. По-точно ще разгледаме случаите, в които е възможно да не съществува обратна матрица. Само да преговорим – ако имаме някаква матрица А, дали съществува друга матрица, която можем да наречем А обратна, такава, че ако комбинираме двете матрици, и ако ги разглеждаме като трансформации, да получим тъждествена трансформация. Или ако умножим двете матрици, да получим единичната матрица. Ще разгледаме също така, ако матрицата А обратна обръща действието на матрицата А, тогава матрицата А трябва да обръща действието на матрицата А обратна и отново ще се получи единичната матрица. Друг начин да разсъждаваме за това е, че ако разглеждаме някаква област в координатната равнина – нека това да е оста х, а това да е оста у, и да кажем, че първоначалната област изглежда ето така, (чертае произволна област в синьо) по този начин. Когато приложим трансформацията А, ще получим нещо ето такова, (чертае с лилав цвят) в момента просто си измислям. Ако приложим трансформацията А, тя ни отвежда от тази област в тази област ето тук. Тогава се досещаме, че трансформацията А обратна, която трансформира това лилаво нещо тук, би трябвало да ни върне обратно в първоначалната област. Защото, ако в началото имаме тази синя област, и ако съчетаем двете трансформации, тогава това се превръща просто в тъждествена трансформация, така че трябва да се върнем отново в тази синя област тук. Това може да предизвика някои въпроси у теб, свързани с детерминантите, защото вероятно си спомняш, че детерминантата на една матрица ни казва как се мащабира площта на дадена област (или фигура). По-конкретно, да кажем, че матрицата А премества област, която има площ – не знам, да означим площта с b, и да кажем, че я пренася в област с площ 5 по b. Значи тази площ ето тук е 5 по b. Знаем, че мащабиращият коефициент 5 може да се определи от детерминантата на матрицата А. Той е равен на абсолютната стойност на детерминантата на матрицата А, която е равна на 5. Но какво означава това за абсолютната стойност на детерминантата на матрицата А обратна? Ако матрицата А увеличава площта с коефициент 5, тогава матрицата А обратна трябва да намалява площта с коефициент 5. Значи абсолютната стойност на детерминантата на матрицата А обратна трябва да бъде равна на 1 върху 5. Така получихме това общо свойство. Тук използвах произволно числото 5, но в общия случай абсолютната стойност на детерминантата на матрицата А, ако тя има обратна матрица, трябва да е равна на 1 върху абсолютната стойност на детерминантата на матрицата А обратна. Като, разбира се, можем да го запишем и в обратния ред. Абсолютната стойност на детерминантата на матрицата А обратна е равна на 1 върху, или на реципрочната стойност, на 1 върху абсолютната стойност на детерминантата на матрицата А. Това следва направо от това свойство, че абсолютната стойност на детерминантата ни казва с какъв коефициент мащабираме дадена площ. Знаем, че тези две твърдения трябва да са верни и двете за всяка произволна матрица А, която има обратна матрица, което ни подсказва, че можем да изключим матриците, които нямат обратни матрици. Ако ти кажа, че детерминантата на матрицата А е нула, тя дали ще има обратна матрица? Тя няма обратна матрица, защото ако тази стойност ето тук е нула, или ако тази величина тук е нула, което означава, че абсолютната стойност на детерминантата на обратната матрица на тази матрица ще бъде 1 върху нула, което е недефинирана величина. Така достигнахме до интересно заключение. Ако детерминантата на една матрица е равна на нула, то тази матрица няма обратна на нея матрица, защото, ако си представим, че има някаква трансформация, чиято детерминанта е нула, вместо трансформация, която ни отвежда до някаква двумерна област или нещо друго, което ни отвежда до двумерна област, тази трансформация трансформира двумерна площ до нещо, което няма площ. Може би някаква такава крива, която няма площ, или до права, или до точка. Ако трансформираме права, можем ли да се върнем обратно? Можем да мащабираме площта безкрайно, за да получим някакво двумерно пространство. Така че това е важен извод. Току-що доказахме, че ако детерминантата на една матрица е равна на нула, не можем да намерим обратната ѝ матрица. Всъщност се оказва, че за всяка друга матрица можем да намерим обратната ѝ, но няма да го доказваме сега и се надявам, че разбра добре този принцип, който разгледахме.