Матриците като трансформации

Ако разглеждаме една матрица като преобразуване на пространство, това може да доведе до по-задълбочено разбиране на действията с матрици. Тази гледна точка ни помага да дефинираме действия с матрици като умножението и ни дава добро оправдание да рисуваме хубави картинки. Този материал е свързан с линейната алгебра (обикновено тема за университет).

Идеята за "трансформация" може да звучи по-сложна, отколкото всъщност е. Преди да почнем да учим как матрицата $2\cdot 2$‍ трансформира двумерното пространство или как матрицата $3\cdot 3$‍ трансформира тримерното пространство, нека първо разгледаме как цифрите (например матрицата $1\cdot 1$‍) могат да бъдат разгледани като трансформации на едномерното пространство.

"Едномерното пространство" всъщност е просто числовата ос.

Какво става, когато умножиш всяко число от числовата ос по точно определена стойност, например $2$‍? Един от начините да си го представиш е следният:

Запазваме копие от оригиналната ос с цел по-добро сравнение. След което приплъзваме всяко число по оста до числото, което е $2$‍ пъти по-голямо.

По аналогичен начин и умножението с ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍ може да бъде представено като:

И нека не забравяме, че съществуват и отрицателни числа. Отдолу е представено умножение по $-3$‍:

Ако си падаш по по-сложните термини, сигурно ще се зарадваш, че всички тези анимации могат да бъдат определени като "Линейни трансформации (преобразувания) на едномерното пространство". Думата "трансформация" е еквивалентна на "функция". Тоест тя взима някакво "входящо" число и изкарва друго "изходящо" число. Точно както $f(x)=2x$‍. Основната разлика между трансформации и функции е в това, че използваме графики, за да си представим функциите, докато трансформацията се използва, за да си представим как някакъв обект се движи, разтяга, свива и т.н. Ако си представим функцията $f(x)=2x$‍ като трансформация, то тази трансформация ще се получи същата, като във видеото "Умножение по $2$‍", което се намира по-горе. Тази трансформация взима числото $1$‍ от първоначалната числова ос и го слага там където е било числото $2$‍. По същия начин взима числото $2$‍ и го слага на мястото на числото $4$‍ и т.н.

Преди да се насочим към двумерното пространство, трябва да запомним един прост, но изключително важен факт. Представи си, че гледаш подобно видео за трансформации, за което знаеш, че представя умножение, но не знаеш на кое число. Например това видео:

Лесно можеш да намериш по кое число е от оста, като $\text{проследиш }1$‍. В този случай $1$‍ се пренася там, където първоначално беше $-3$‍, така че можеш да кажеш, че тази анимация представя умножение по $-3$‍.

Двумерна линейна трансформация е специален вид функция, която има за входяща стойност двумерен вектор $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ и за изходяща стойност друг двумерен вектор. Както преди, използването на думата “трансформация” показва, че ние би трябвало да мислим за смачкване на нещо, което в този случай е двумерното пространство. Това са няколко примера:

За нашите цели това, което прави една трансформация линейна, е следното геометрично правило: Началото трябва да остане фиксирано и всички прави трябва да останат прави. Така че всички преобразувания в анимацията по-горе са примери, но следващото не е:

Представи си, че наблюдаваш конкретна трансформация като тази:

Как ще опишеш това на приятел, който не гледа същата анимация? Не можеш да го опишеш, използвайки едно число, както бихме проследили числото $1$‍ в случая с едно измерение. За да проследим всичко, нека поставим зелена стрелка върху вектора $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍, да поставим червена стрелка върху вектора $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ и да фиксираме копие на мрежата като фон.

Сега е много по-лесно да видим къде отиват нещата. Например гледай анимацията отново и се фокусирай върху вектора $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$‍. Можем по-лесно да го проследим и да видим, че той попада върху вектора $\left[\begin{array}{c}4\\ -2\end{array}\right]$‍.

Можем да представим този факт със следните обозначения:

Забележи, че вектор като $\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]$‍, който започва като $2$‍ пъти зелената стрелка, продължава да бъде $2$‍ пъти зелената стрелка след трансформацията. Тъй като зелената стрелка попада върху $\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]$‍, можем да заключим, че

$\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]\to 2\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ -4\end{array}\right]$‍.

И като цяло

Подобно, местоназначението на цялата ос $y$‍ е определено от това къде попада червената стрелка $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ , което за това преобразувание е $\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]$‍.

Всъщност, веднъж като знаем къде попадат $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ и $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ , можем да заключим къде трябва да отиде всяка точка от равнината. Например нека проследим точката $\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$‍ в нашата анимация:

Тя започва в $-1$‍ по зелената стрелка плюс $2$‍ пъти червената стрелка, но също завършва в $-1$‍ по зелената стрелка плюс $2$‍ пъти червената стрелка, което след трансформацията означава

Тази способност да разделя вектора по отношение на неговите компоненти както преди, така и след трансформация, е това, което прави специални линейните преобразувания.

Като цяло, тъй като всеки вектор $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ може да бъде разложен като

ако зелената стрелка $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ попадне върху някой вектор $\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]$‍, а червената стрелка $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ попадне на друг вектор $\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$‍, тогава векторът $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ трябва да попадне на

Много приятен начин да опишеш всичко това, е като го представиш с линейна трансформация с матрицата

където първата колона показва къде попада $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ , а втората колона показва къде попада $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ . Сега можем много компактно да опишем къде попада всеки вектор $\mathbf{\text{v}}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ като произведението матрица-вектор

Всъщност оттук идва определението за произведение на матрица с вектор.

Така по същия начин линейни трансформации в едно измерение могат да бъдат описани като умножение с някое число, а именно числото, върху което попада $1$‍. Двумерни линейни преобразувания могат да бъдат описани като $2\cdot 2$‍ матрици, а именно тези, чиито първи колони показват къде попада $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍, и чиито втори колони показват къде попада $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍.