If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Въведение в математическия анализ

Разглеждане на детерминантите като площ

Детерминантата на матрица 2Х2 ни показва колко е площта на образа на единичен квадрат при трансформация с матрицата. Това ни позволява да кажем колко е площта на образа на произволна фигура, която е подложена на същата матрична трансформация. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Дадена е една матрица две на две ето тук, която можем да разглеждаме като състояща се от два вектор-стълба. Първият стълб дефинира вектора [3; 1], който тук съм изобразил в синьо. Вторият стълб може да се каже, че дефинира друг вектор – векторът [1; 2], който съм начертал в розов цвят. Едно интересно тълкуване на детерминантата на тази матрица 2 х 2 е, че абсолютната стойност на детерминантата е равна на площта на успоредника, определен от тези два вектора. Какво имам предвид под успоредника, който е дефиниран от тези два вектора? Представи си, че вземем долния вектор и го преместим така, че началото му да съвпадне с края на розовия вектор. Това ще изглежда по следния начин, начертано грубо на ръка. Ще изглежда ето така. После, ако вземем розовия вектор, ако го копирам и го поставя нагоре и надясно, така че началото му да съвпада с края на първоначалния син вектор, това ще изглежда ето така на чертежа. Както знаеш, можем да използваме тази техника за да съберем всеки два произволни вектора в координатната равнина. Те образуват успоредник. Оказва се, че площта на този успоредник е равна на абсолютната стойност на детерминантата на тази матрица ето тук. И колко е това? Знаем как се изчислява детерминантата. Тя е равна на 3 по 2, което е 6, минус 1 по 1, което е 1, и това дава 5. Абсолютната стойност на 5, разбира се, е 5. Това е много хубаво само по себе си. Видяхме едно тълкуване на детерминантата, което ще ни е полезно, когато изучаваме по-нататък работата с матрици. Друго тълкуване е да кажем, че, ако А е матрица на трансформация, само ще я препиша – ние знаем какво прави една матрица на трансформация. Тя ни показва какво се случва с единичните вектори, така да се каже. Например, ако имам този вектор ето тук, (чертае оранжев вектор) векторът [1; 0], знаем, че матрицата на трансформацията ни казва да вземем този вектор [1; 0] и да го превърнем във вектор [3; 1]. Превръщаме го в този вектор ето тук. (показва на чертежа) Знаем, че има още един единичен вектор. Нека това да е този вектор тук, (чертае в лилаво) векторът [0; 1]. Придвижваме се с 0 в посока х и с 1 единица в посока у. Матрицата на трансформацията ни казва, че трябва да превърнем този вектор във вектор [1; 2]. Но вероятно се досещаш, че това не е трансформация само на единичните вектори. Това е също така мащабиране и на площта, определена от тези вектори. Площта, дефинирана от тези два първоначални вектора, можем да ги наречем единични вектори, тази площ е 1 по 1. Това е тази площ ето тук. Значи тази трансформация ни отвежда от площ 1 до площ 5. Това е мащабиране с мащабиращ коефициент 5. Това е много интересно дори само за този единичен квадрат. Но по същество това е мащабиране на площта на всяка произволна фигура. Да кажем, че имаме една подобна фигура. Този овал или елипса има някаква площ. Ако приложим тази матрица на трансформация, тя ще изглежда ето така. Това е само приблизително. Ще изглежда приблизително така. Това ни казва, че този по-голям овал или балон има пет пъти по-голяма площ от площта на първоначалния балон, защото по-големият балон е образът при трансформацията на по-малкия балон с матрицата на трансформация. Да кажем, например, че площта на по-малкия кръг е 0,6 квадратни единици и прилагаме към него тази трансформация. Ако някой те попита: Колко е площта на по-големия балон, който е образ на по-малкия балон след трансформацията? Тогава ще умножиш 0,6 по абсолютната стойност на детерминантата на матрицата на трансформацията. Значи ще умножиш по 5. Това е 0,6 по 5, което дава 3 квадратни единици. Една подсказка защо това се случва по този начин е, че всяка област от координатната равнина може да се представи със серия от квадрати. После, ако приложиш трансформацията, тогава просто трансформираш всеки един от тези отделни квадрати. Така че мащабирането на площта е същото като мащабирането на всеки един от тези по-малки квадрати.