Представяне на матриците като трансформация в равнина

В това видео ще разгледаме как матрица с размери 2 х 2 може да се разглежда като трансформация в координатната равнина. Да започнем с няколко примера или няколко концептуални идеи. Първата концептуална идея е, че всяка точка в тази координатна равнина, показана на екрана – където това е оста х, а това е оста у – всяка точка може да се представи чрез комбинация от два вектора. Това може да е този вектор тук, който има дължина точно една единица по хоризонтала. Можем да представим този вектор като вектор [1; 0]. Векторите се записват вертикално, като стълб, по този начин, като е прието, че горният елемент е това, което се случва в посока х. Долното число, в случая 0, е това, което се случва във вертикална посока или в посоката у, така че това е векторът [1; 0]. А това тук какво е? (чертае червен вектор по вертикала) Това е векторът [0; 1], който не се движи въобще в посока х. Той само се издига нагоре по посока у. Сега да се уверим, че всяка произволна точка в координатната равнина може да се представи като претеглена сума от тези два вектора. Да изберем една произволна точка. Нека да е тази точка ето тук, ще я нарека точка А. Можем да я представим чрез вектор, който изглежда по следния начин – ще го начертая с пресечена линия – може да се представи чрез следния позиционен вектор. Ако ни интересуват координатите на тази точка, можем да кажем, че те са (3; 1). Координатата х е 3, а координатата у е 1. Ако искаме да я представим като вектор, можем да запишем като [3; 1]. В посока х се преместваме с 3 единици от началото на координатната система, плюс три единици, а в посока у се преместваме с една единица. Можем да представим този вектор като претеглена сума от двата единични вектора. Можем да го представим като 3 по единичния вектор [1; 0] плюс 1 по единичния вектор [0; 1]. Можеш да го видиш на чертежа, този жълт вектор, който сочи към точката А ето тук – можем да имаме три пъти вектора [1; 0] – един, два, три пъти. После имаме един път оранжевия вектор. Казах, че ще обясня по какъв начин матриците с размери 2 х 2 могат да представят трансформация. Начинът, по който можеш да разсъждаваш по това, е, че ако взема матрица 2 х 2, която изглежда по този начин – само ще направя една матрица – в която първият стълб е едно, нула, а вторият стълб е нула, едно. Това ни показва какво да правим с тези два вектора. Знам, че на пръв поглед това може да е малко объркващо, но нека да го разгледаме заедно. Начинът, по който съм го представил – първият стълб ни казва каква е трансформацията, която ще приложим към единичния вектор [1; 0], този синия вектор. Тук просто го запазваме като [1; 0]. Не го променяме, остава същия. Векторът [1; 0] тук и [1; 0] тук. По същия начин – вектор [0; 1] и вектор [0; 1] ето тук. Така тази матрица 2 х 2 по същество представя така наречената тъждествена трансформация или идентитет. Тя изобразява всяка точка в координатната равнина обратно в самата нея. Тя не променя точките, но аз ти я показвам, защото сега ще ти покажа матрица 2 х2, която не представя тъждествена трансформация. Например – ще направя една нова матрица. Нека това да е матрицата – вместо едно, нула в първия стълб ще запиша две, едно, а вместо нула, едно във втория стълб ще запиша едно, две. В тази трансформация това, което сега ще направя, е да изобразя вектора [1; 0] във вектора [2; 1]. Само след секунда ще видиш какво имам предвид. Как изглежда този вектор [2; 1]? Ще използвам този цвят. Преместваме се с две единици по оста х и с една единица по оста у. Това ще изглежда по следния начин. А как изглежда векторът [1; 2]? Имаме 1 единица в посока х и после две единици в посока у. Начинът, по който това представя трансформация, е, че всичко, което е претеглена сума на векторите [1; 0] и [0; 1] в началото, сега можем да ги разглеждаме като претеглена сума на векторите [2; 1] и [1; 2]. Сега можем да разгледаме друга точка А прим, това няма да бъде три пъти вектора [1; 0] и един път вектора [0; 1]. Можем да разглеждаме това – ще го запиша ето тук – като три пъти вектора [2; 1], плюс един път вектора [1; 2]. Къде ще отиде това сега? Сега се преместваме три пъти с вектора [2; 1]. Това е един път, това са два пъти, това са три пъти. След това ще имаме един път вектора [1; 2], този оранжев вектор ето тук. Значи ще имаме един път този вектор. Така това ме отвежда в точката А прим. Това е новата точка след трансформацията, отиваме в точка А прим. Така отивам от точка А в точка А прим. Тази матрица 2 х 2 ни казва как да извършим трансформацията. Можем да направим същото с още много други точки. Ако взема точката, която е начало на координатната система, това първоначално е точката В, която е нула пъти оранжевия вектор и нула пъти синия вектор. Дори след трансформацията ще имаме нула пъти вектор [2; 1] и нула пъти вектор [1; 2]. Така че си остава на същото място. Ще се изобрази в самата себе си. Значи точка В съвпада с точка В прим. Можем да си представим и друга точка. Да разгледаме тази точка ето тук, която ще означа като точка С. Точка С е първоначално два пъти синия вектор и нула пъти оранжевия вектор. След изобразяването това става два пъти вектора [2; 1] и нула пъти вектор [1; 2]. Значи два пъти вектор [2; 1]. Така че, ако се преместим един път с вектор [1; 2] и после нула пъти с вектор [1; 2], получаваме тази точка С прим ето тук. Обърни внимание, че ако първоначално имаме триъгълник между точките А, В и С – ще го начертая по следния начин – значи в началото имаме триъгълник между точките А, В и С. В какво се изобразява той? Той се изобразява в този голям триъгълник. Ще се постарая максимално да чертая прави линии, за да стигна до образа. Това е тази страна. После имаме тази страна от В прим до С прим, и след това свързвам тази страна между точките С прим и А прим. Сега може би ще попиташ откъде знам, че тези отсечки се изобразяват в другите отсечки. Откъде знаем, че при тази трансформация тези прави не са криви или не са на зиг-заг? Това е едно от интересните свойства на този вид трансформация, която разглеждаме. Матриците 2 х 2 представят линейна трансформация. Можем да разсъждаваме за това по два начина в този контекст. Линейната трансформация винаги изобразява началото на координатната система в него самото, и винаги изобразява права в права, тя никога не превръща дадена права в крива, нито в някаква зигзагообразна линия. Последното нещо, за което може би се чудиш, вероятно е дали всички трансформации, които сме учили в часовете по геометрия, при които първообразът и образът са подобни, например ротация, осева симетрия, хомотетия – дали те могат да се представят чрез такива матрици? Краткият отговор е "Да", могат да се представят с матрици, стига началото на координатната система да остане на мястото си. Всъщност, като използваш матрици 2 х 2, е възможно да получиш цели серии от други линейни трансформации, които са много по-екзотични, ако мога да се изразя така, отколкото ротациите, осевите симетрии и хомотетиите.