Въведение в умножение с матрици

Нека имаме 2 матрици и за улеснение ще започна с две матрици 2х2. Нека кажем, че първата е 2, –2, 5 и 3, и после имам тази матрица тук, която също е 2х2. Да кажем, че тя е –1, 4, 7 и –6. По време на това видео искам да те запозная с математическия подход за умножаване на две матрици като тези. Искам да акцентирам това, защото математиците са можели да измислят много различни начини да дефинират умножението на матрици. Но подходът, който ще ти покажа, е начинът, по който се прави, и се прави така особено като навлезеш по-дълбоко в линейната алгебра или започнеш да се занимаваш с компютърна графика, или дори моделиране на различни видове процеси. Ще видиш защо този тип умножение на матрици, който ще ти покажа след малко, има най-много приложения. Искам специално да акцентирам, че това е човешко изобретение. Хората са измислили дефиницията за умножение на матрици така, както ще ти го покажа, за да бъде полезно. Нека само помислим как може да бъде това. Искам пак да акцентирам, че това е измислено от хората. Има няколко начина, по които можеш да подходиш при умножение на две матрици 2х2. Може да го направиш по същия начин както събирането на матрици. Когато събираш матрици, двете матрици трябва да имат еднакви размери и просто събираш съответстващите елементи в матриците. Единият подход може да бъде: За произведението ни тук, защо просто не умножим съответстващите елементи? 2 по –1 ще даде –2. –2 по 4 дава –8 тук. Така правехме събирането. Събирахме съответстващите елементи, но това не е подхода при умножение на матрици. Това не е стандартният подход. Стандартният подход при умножение на матрици е всъщност да вземем... За да получим този горен ляв елемент, ще сметнем произведението на този ред с тази колона. Какво означава да сметнем произведението на ред и колона? Ако си запознат със скаларно произведение на вектори, това може да ти е познато. Смяташ произведението на съответстващите елементи, произведението на първите елементи, произведението на вторите елементи и тогава ги събираш. Основно това ще правим. Ще смятаме скаларното произведение на този първи ред и тази първа колона, за да получим този горен ляв елемент. Ако не разбираш термина "скаларно произведение", ще ти покажа какво всъщност означава той. Нека добавим още малко пространство. Мисля, че ще е полезно, особено този първи път, в който се сблъскваме с умножение на матрици. Този горен ляв елемент ще бъде 2 по –1, следователно 2 по –1 плюс –2 по 7. Забележи, че сметнах произведението на първия елемент в реда и първия елемент в колоната. След това произведението на втория елемент в реда и втория елемент в колоната тук, и тогава ги събрах. Това означава да сметнеш скаларното произведение на този ред вектор и тази колона вектор. Ако не разбираш това, ако не си запознат с вектори и скаларни произведения, не се притеснявай. Просто взехме произведението на първите елементи, произведението на вторите елементи и ги събрахме, за да ни даде някаква число, което ще пресметнем след няколко секунди. Но нека помислим за другите. За да получим този елемент тук, ще вземем първия ред от тази матрица и втората колона от тази матрица. Това има смисъл, защото все още сме на първия ред, но сме във втората колона на първия ред тук. Първи ред, втора колона. Ще бъде 2 по 4, плюс –2 по –6. В този момент ти препоръчвам да спреш видеото. Като видя това, пробвай да го довършиш. Пробвай да сметнеш долния ляв елемент и долния десен елемент. Ще ти подскажа. Свързано е с втория ред тук. Предполагам, че опита вече. Сега нека го направим набързо заедно. Понякога умножението на матрица може да бъде малко трудно. Сега сме на втория ред. Ще използваме втория ред от първата матрица и за този елемент, втори ред, първа колона, втори ред, първа колона. 5 по –1. 5 по –1 плюс 3 по 7. На финалната права сме. За да получим този долен ред, втора колона или втори ред, втора колона, умножаваме този ред по тази колона тук. Ще бъде 5 по 4, 5 по 4 плюс 3 по –6. До какво се свежда това? Това ще бъде равно на... Нека видим. –2 плюс –14, което ще бъде –16. Това тук е –16. После имаме 8 плюс 12, което ще е 20. После имаме –5 плюс 21, което ще бъде 16, положително 16. Правилно ли го направих? Да, положително 16. Накрая ще имаш 20 минус 18, което ще бъде просто 2. Произведението на тези 2 матрици... Заслужаваме малко звук от барабани. Когато умножим тази 2х2 матрица по тази 2х2 матрица, ще получим –16, 20, 16 и 2, и сме готови.