Умножение на матрици

Дадени са две матрици: матрица Е и матрица D. Пита се колко е ED, което е друг начин да кажем какво е произведението на матрица Е и матрица D. За да запомня какво правя, нека копирам и поставя това. И ще си изкарам малкото тефтерче. Нека поставя това тук. Имаме цялата информация, която ни е нужна. Да се пробваме да го решим. Матрица Е по матрица D, което е равно на... Това всичкото е матрица Е. Следователно 0, 3, 5, 5, 5, 2 по матрица D, която е всичко това. Ще умножим по 3, 3, 4, 4, –2, –2. Първото нещо, което трябва да проверим, е дали това е смислена операция. Умножението на матрици е операция, дефинирана от хората, всъщност всички математически операции са такива, и те имат някакви свойства. Начинът, по който хората сме определили умножението на матрици, важи само когато умножаваме две матрици. Тази тук има два реда и три колони. Затова тя е матрица 2 х 3. А тази има три реда и две колони, затова тя е 3 х 2. Тъй като можем да умножим само тази матрица и тази матрица, операцията е смислена, ако броят на колоните на тази матрица е равен на броя на редовете на тази матрица. В тази ситуация е така, затова всъщност мога да ги умножа. Ако тези две матрици не бяха с еднакви размери, ако броят на колоните тук не беше равен на броя на редовете тук, тогава това нямаше да бъде възможна операция, поне според начина, по който дефинирахме умножението на матрици. Другото нещо, което винаги трябва да помниш, е че Е по D не винаги е същото като D по E. Последователността има значение при умножаване на матрици. Няма значение ако умножаваш обикновени числа, но има значение при матриците. Хайде да решим това. Това, което ще получим, всъщност е матрица 2 х 2. Ще направя малко място тук, защото ще трябва да направим малко сметки. Това ще бъде равно на... Ще направя огромна 2 х 2 матрица тук. Ще получим горния ляв елемент като сметнем този ред по тази колона. Ако ги разгледаме като вектори, и имаш малко познания за скаларното умножение, всъщност ще вземем скаларното произведение на това и това. А ако нямаш представа какво е това, сега ще ти покажа. Този елемент ще бъде 0 по 3, плюс 3 по 3, плюс 5 по 4, Това е горният ляв елемент. И вече виждам, че ще ми свърши пространството, затова нека преместя това тук вдясно, малко място да мога да дишам. Сега можем да сметнем горния десен елемент. Това беше горният ляв, сега ще сметнем горния десен. Той ще бъде този ред по тази колона. Забележи, че елементът се получава от реда от първата матрица и колоната от втората. Това му определя позицията. Той ще бъде 0 по 4, плюс 3 по –2, плюс 5 по –2. И продължаваме. Долният ляв елемент ще бъде този ред, втория ред по първата колона тук. Следователно: 5 по 3, плюс 5 по 3, плюс 2 по 4. Почти сме готови. Само трябва да умножим, т.е. да сметнем скаларното произведение на този ред и тази колона тук. Следователно ще бъде 5 по 4, плюс 5 по –2, плюс 2 по –2. Това ще бъде равно на... Можем да сметнем това сега. Нека видим. 0 по 3 е 0. Това е 9 плюс 20. Това е 29. Това всичко се свежда до 29. Това всичко е 0. Това е –6. А това е –10. Всичко това се свежда до –16. Това тук е 15 плюс 15, което е 30 плюс 8. Следователно е 38. И накрая, това е 20 минус 10 минус 4. Следователно ще бъде 6. Всичко това се свежда до 6. Следователно всичко това става 29, –16, 38 и 6. Нека проверим отговора. Сметнали сме го правилно.