Асоциативно свойство при произведение на матрици

В това видео искам да ти покажа, че умножението на матрици се подчинява на съдружителното (асоциативното) свойство. Ще ти покажа поне за матрици 2 х 2, а после можеш да го приложиш за матрици с всякакви размери, за които умножението на матрици е дефинирано. Нека разгледаме 3 матрици. Първата матрица е а, b, c и d, втората матрица е e, f, g, h, а третата матрица е i, j (тук няма имагинерни числа, а просто буквите 'i' и 'е'), i, j, k и l. Искам да разгледам два случая. Нека копирам и поставя това. Копирам и поставям. Искам да разгледам случая, в който първо умножавам оранжевата и жълтата матрица, а после умножавам по лилавата матрица. После другия случай, в който първо умножавам жълтата и лилавата, и умножавам резултата по оранжевата. Ако тези две произведения, различаващи се по последователността на умножаване, се окажат равни, означава, че съм доказал, че поне за 2 х 2 матрици умножението отговаря на съдружителното свойство. Вече видяхме, че не отговаря на разместителното свойство, сега да видим дали отговаря на съдружителното свойство. Даже ще ти издам – отговаря на съдружителното свойство. Но нека все пак го решим и те насърчавам да спреш видеото, да го решиш самостоятелно с тези букви и тогава да видиш дали ще получиш резултата, който казах, че трябва да получиш. Добре, хайде да умножим първо тези двете. За това произведение ще увелича малко размерите. То ще бъде а.е + b.g, после a.f + b.h, след това ще бъде c.e + d.g, и накрая c.f + d.h. Ще го умножим по матрицата i, j, k, l. Какво ще се получи? Ще отпусна още малко място. Ще получим... Нека само си направя повечко място. Ще бъде тези неща по i, което можем да го запишем като... Всъщност нека разместя i. i.a.e + i.b.g плюс тези неща по к, + k.a.f + k.b.h. Вече ми свършва мястото, така че нека разчистя това и да продължа. После ще умножа това, разглеждаме този ред и тази колона, първи ред, втора колона, и ще получим j.a.e + j.b.g + l.a.f + l.b.h. Тези матрици са по-големи, отколкото очаквах. После ще имаме това по това плюс това по това. Следователно i.c.e + i.d.g + k.c.f + k.d.h и накрая това по това плюс това по това или това по това плюс това по това. Следователно j.c.e + j.d.g + l.c.f + l.d.h, добре. Хайде това да го минем набързо. Какво ще бъде това произведение? Ако умножа първо тези двете, това произведение ще бъде e.i + f.k + e.j... Не плюс, това е следващият елемент: e.j + f.l. После имаме g.i + h.k и накрая имаме g.j + h.l. После ще умножим всичко по a, b, c, d. Ще имам нужда от малко място, затова ще го направя тук долу в зелено. Ще направя малка стрелка, за да покажа... Всъщност мога просто да преместя малко насам, това може даже да е по-добре. Какво ще получа? a по това, плюс b по това, следователно a.e.i + a.f.k + b.g.i + b.h.k. После смятаме този ред и тази колона, което е a.e.j + a.f.l + b.g.j + b.h.l, затваряме скобите. Сега ще имам c по това плюс d по това. Следователно c.e.i + c.f.k + d.g.i + d.h.k и накрая, на финала сме: c по това плюс d по това. Следователно c.e.j + c.f.l и после имаме + d.g.j + d.h.l. Тези две неща равни ли са? Хайде да разгледаме елемент по елемент. i.a.e е еквивалентно на a.e.i, защото знаем, че умножението на скаларни величини е разместително. Сега i.b.g, виждаш го тук и тук. k.a.f го виждаш тук и тук е същото нещо като a.f.k. После k.b.h, това е същото като b.h.k. Можеш да продължиш елемент по елемент, всъщност нека направим точно това . Ще го направя много бързо. i.c.e е същото като c.e.i. i.d.g е същото като d.g.i. k.c.f е същото като c.f.k. k.d.h е същото като d.h.k и отиваме на вторите колони j.a.e е същото като а.е.j. j.b.g е същото като b.g.j. l.a.f е същото като a.f.l. l.b.h е същото като b.h.l и накрая: j.c.e е същото като c.e.j. j.d.g е същото като d.g.j. l.e.f... Или това е l.c.f? Нека видим. l.d.h е това тук, значи това трябва да е l.c.f, което е същото като c.f.l. Това тук l.c.f ли е? Нека се уверя, защото това много би попречило на цялата операция. Този елемент тук го получаваме чрез умножаване на втория ред по втората колона и ще получим j.c.e + j.d.g. После получаваме l.c.f... Да, това е l.c.f + l.d.h. Виждаш, че тези две величини са равни, без значение дали ще умножа първо първите две и после ще умножа по третото или ще умножа второто и третото и после ще умножа по първото. Пак казвам, че това е съдружителното свойство. По същество ги запазвам в същата последователност. Последователността е от значение, но както виждаме, можем да съдружим тези. Можем да сметнем първо първите две или пък първо вторите две.