Умножението на матрици комутативно ли е?

Знаем, че умножението на скаларни величини се подчинява на разместителното (комутативното) свойство. Например 5 по 7 е същото като 7 по 5. Това очевидно е конкретен пример. Мога да дам много, много повече. 3 по –11 е същото като –11 по 3. Целият смисъл на разместителното свойство... никога не мога да го кажа, е че не зависи от последователността, в която умножаваме. Това е същото като –11 по 3. Ако искахме да говорим с общи термини... Ако имам скаларната величина а и го умножа по скаларната величина b, ще получа същото нещо като да умножа скаларната величина b по скаларната величина а. В това видео искам да помислим дали разместителното (комутативното) свойство при умножение на скаларни величини, дали има подобно свойство при умножението на матрици. Дали ако имам две матрици, да кажем матрица А и матрица B, дали винаги произведението, получената матрица тук е същата като произведението на матрица B по матрица А. Просто да разменим местата им. Насърчавам те... Това винаги ли е така? Може понякога да е вярно, но за да кажем, че умножението на матрици се подчинява на комутативното свойство, че то не зависи от последователността, в която умножаваме, трябва да разберем дали винаги това е вярно. Насърчавам те да спреш видеото и да помислиш върху това за малко. Нека помислим за някои неща. Първо нека помислим за матрици с различни размери. Да кажем, че имам една матрица тук. Да кажем, че матрица А е, не знам, примерно матрица 5 х 2. А матрица B e матрица 2 х 3. Какви размери ще има произведението АВ? Ако умножа тези двете, ще получим трета матрица. Да я наречем матрица C. Ще получим трета матрица C. Какви ще бъдат размерите на C? Знаем, че това произведение е определено според нашия подход за умножение на матрици, защото броят на колоните, които има А, е същият като броя на редовете, които има В, а получените редове и колони ще бъдат редовете на А и колоните на В. Следователно С ще бъде матрица 5 х 3. А как ще бъде в обратния случай? Какво ще получим при В по А? Отново те насърчавам да спреш видеото. Ако вземеш В, нека го копирам и поставя, и го умножиш по А... Просто им сменям местата в реда на умножението. Копирам и поставям. Ако вземем това произведение, на какво ще бъде равно? Колко ще е това? На колко ще бъде равно това? Първият въпрос е: Изобщо дефинирано ли е умножението за тези две матрици? Когато погледнеш броя на колоните, които има В, и броя на редовете, които има А, ще видиш, че всъщност не е дефинирано, че имаме различен брой колони за В и различен брой редове за А. Тук произведението не е дефинирано. Следователно това е голям знак, че това няма винаги да е вярно. Тук АВ, произведението АВ, е дефинирано и ще получиш матрица 5 х 3. Произведението тук, ВА, дори не е дефинирано. Вече виждаме, че правилото не важи, че последователността е от значение при умножението на матрици. За да бъдем малко по-ясни, нека разгледаме една матрица... Може би си казваш: Е, може би това не става само когато не е дефинирано умножението, но може би работи, ако винаги работим с квадратни матрици или матрици, при които и двете произведения са винаги дефинирани по някакъв начин, или пък някакъв друг случай. Да разгледаме пример, в който използваме 2 х 2 матрици и да видим дали ще има значение последователността. Да кажем, че имам матрицата 1, 2, –3, –4 и искам да я умножа по матрицата –2, 0, 0, –3. Какво ще бъде произведението? Отново те насърчавам да спреш видеото и да помислиш малко. Нека помислим. Правили сме го вече доста пъти. Първият елемент ще бъде... По същество ще разглеждаме този ред и тази колона. Той ще бъде 1 по –2, което е –2, плюс 2 по 0. Това ще бъде –2. Сега за този елемент ще разгледаме този ред и тази колона. 1 по 0, което е 0, плюс 2 по –3, което е –6. После за този елемент ще разгледаме този ред и тази колона. –3 по –2, което е 6, плюс –4 по 0, което е просто 6. Ще получим 6. Накрая за този елемент ще сметнем втория ред по втората колона. –3 по 0 е 0. –4 по –3 е 12. Дотук добре. Ами ако го бяхме направили обратно? Ами ако умножим –2, 0, 0, –3 по 1, 2, –3, –4? На колко ще е равно това? Както винаги, добра идея е да спреш видеото и да го решиш самостоятелно. Нека помислим върху това. –2 по 1 е –2, плюс 0 по –3, следователно това ще бъде –2. Дотук изглежда доста добре. После имаме –2 по 2, което е –4, плюс 0 по –4, което е –4. Вече виждаме, че тези две неща няма да бъдат равни, но нека довършим, за да имаме чувството за завършеност. Този елемент тук ще бъде втория ред, първа колона. 0 по 1, плюс –3 по –3, което е 9. Отново не съответства. Накрая 0 по 2 е 0, плюс –3 по –4, което 12. Това всъщност съвпадна, но очевидно тези две произведения не са същите. Последователността дори при тези, които са дефинирани... Няма значение дали ще вземеш жълтото по лилавото или лилавото по жълтото. И двете имат дефинирано произведение, но виждаме, че не е същото произведение. Още един случай, показващ че умножението на матрици НЕ се подчинява на разместителното свойство.