If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:7:59

Видео транскрипция

Когато за първи път си учил/а за умножението преди много, много, много години, са те запознали с идеята, че 1 по... Не трябва да използвам този символ. 1 по някое число е равно на същото число. Това звучи логично. Буквално казваш, че едно от тези неща просто ще бъде онова нещо вдясно. Можеш да го разглеждаш като 1, когато мислиш за обикновено умножение или скаларно умножение. То има свойството за идентичността. 1 по някое число е равно на това същото число. Тъй като сега разглеждаме матрици и умножение на матрици, се поражда въпросът "Има ли някоя матрица, за която важи същото правило при умножението на матрици?". За да бъде по-ясно: Има ли матрица I... И нека го удебеля колкото мога. Има ли някаква матрица I, която ако я умножа по която и да е друга... Мисля, че го преудебелих, но просто ще продължа така. Ако умножа I по произволна матрица А, полученото произведение пак да бъде матрицата А, според стандартния метод за умножение на матрици. За да бъде по-ясно, нека просто си представим... Нека вземем примерна матрица А. Да кажем, че нашата матрица А, нека да бъде 3 х 3. Да кажем, че тя е 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Препоръчвам ти да спреш видеото и да помислиш дали можеш да създадеш някаква матрица I. Първо помисли какви трябва да са размерите на матрицата, така че когато умножиш двете по този начин, така че като умножиш I по A, да получиш пак А. Предполагам, че опита самостоятелно, а сега да го направим заедно. Поставяме матрица А тук долу. Нека копирам и поставя. Нека първо помислим какви трябва да бъдат размерите. Когато умножа моята матрица I по А, получавам пак А. Умножавам нещо по матрица 3 х 3 и получавам друга матрица 3 х 3. Има няколко неща, които знаем. Първо на първо, за да бъде дефинирано това умножение, тази матрица, единичната матрица, трябва да има същия брой колони, колкото са редовете на А. Виждаме, че А има 3 реда, следователно единичната матрица ще трябва да има 3 колони. Знаем също, че размерите на произведението, или по-точно броят на редовете на произведението се определя от броя на редовете на първата матрица, следователно тя също трябва да бъде 3 х 3. Разбира се, колоните на произведението се определят от колоните на втората матрица. Това определя това. Тези двете средни числа трябва да са равни, редовете на първата матрица определят редовете на произведението, а колоните на втората матрица определят колоните на произведението. Знаем, че това трябва да бъде матрица 3 х 3. Какво друго знаем? Знаем какво трябва да е произведението. То също трябва да е 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Нека помислим върху това. За да получим този първи елемент тук, ще трябва да умножим този ред по тази колона, тъй като взимаме скаларното произведение. Ще трябва да умножа нещо по 1, плюс нещо друго по 4, плюс нещо друго по 7, за да получа 1. Нека помислим по-най наивния, да кажем, начин. Какво ще стане, ако умножа 1 по 1, за да получа 1, после 0 по 4 и го добавя, и после 0 по 7. Мисля, че така става. Когато смятаме това произведение, този елемент тук ще бъде 1 по 1, плюс 0 по 4, плюс 0 по 7. Това се получи доста добре, но нека проверим дали важи нататък. Какво ще стане, когато умножа този ред по тази колона или по тази колона, за да получа елемента тук вдясно? Получава се. Той е 1 по 2, плюс 0 по 5, плюс 0 по 8, следователно има смисъл. Получаваме пак 2. Същото нещо е когато смятаме третата колона. 1 по 3, плюс 0 по 6, плюс 0 по 9 ще бъде 3. Какво правим за втория ред? Хайде да помислим малко. Вторият ред тук ще определи какви стойности получаваме тук. Например за да получим този елемент тук, ще умножим този ред по тази колона. Искаме да получим 4, затова един начин да го погледнем е, че просто искаме това 4 по средата, Следователно умножаваме 0 по 1, плюс 1 по 4, плюс 1 по 7 и ще получим 4. Това проработва и за следващия елемент тук. 0 по 2, плюс 1 по 5, плюс 0 по 8. Получаваме 5. Ще се получи и при този елемент тук. Сега за последния елемент, за долния ред от произведението. За да го сметнем, ще трябва да умножим този ред по тези колони или можем да кажем, да вземем скаларното произведение. За да получим 7, искаме да умножим този ред по тази колона или да вземем скаларното произведение на този ред и тази колона. Ако искаме това 7, нека умножим 0 по 1, плюс 0 по 4, плюс 1 по 7. Просто така! Ще видиш, че ще се получи. Получаваме 7 за този елемент. Когато вземем скаларното произведение на това и това, получаваме 8 за този елемент. Взимаш скаларното произведение за това и това. Получаваш 9 за този елемент. Просто ей така създадохме единична матрица 3 х 3. Единичната матрица 3 х 3 е равна на 1, 0, 0, 0, 1, 0 и 0, 0, 1. Както ще видиш, когато конструираш единична матрица, ако конструираш единична матрица 2 х 2, мога да запиша единична матрица 2 х 2, ще следваш много сходен подход. Тя ще бъде 1, 0, 0, 1. Ако имаш единична матрица 4 х 4, тя ще бъде, можеш да предположиш, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0 0, 0, 0, 1. По същество просто имаш единици по диагонала, започващи от горния ляв елемент до долния десен. Интересното за единичните матрици е, че когато ги умножиш по коя да е матрица, ще получиш пак същата матрица. Още нещо, което те насърчавам да направиш, е... Сега показахме, че I по A е равно на A. Ще те оставя да направиш това след видеото, колко е A по I? Виждали сме, че при умножението на матрици последователността е от значение, така че какво би станало тук? Ако умножиш A по I, пак ли ще получиш А?