If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:4:49

Представяне на системи от произволен брой уравнения с матрици

Видео транскрипция

В предходното видео казахме, че ако имаме система от три уравнения с три неизвестни, можем да я представим като матрично уравнение, където тази матрица ето тук е матрица с размери 3 х 3. Това е матрица, която по същество съдържа коефициентите пред променливите. Тя включва всички коефициенти на х, на у и на z в различните си стълбове. След това умножаваме тази матрица по този вектор, който е векторът на неизвестните и има размер 3 х 1. От другата страна на равенството е резултатът, който е друг вектор с размер 3 х 1, като този вектор съдържа тези постоянни членове ето тук. (огражда ги) В това видео ще разгледаме как можем да обобщим този феномен. Това не се отнася само за система, която е от три уравнения с три неизвестни. Можем да го обобщим за n уравнения с n неизвестни. За да се убедим, че това наистина е така, да разгледаме система от две уравнения с две неизвестни. Да кажем, че имаме уравненията 2 по х, плюс у, равно на 9 и 3 по х, минус у, равно на 5. Препоръчвам ти да поставиш видеото на пауза и да помислиш как можем да представим тази система като матрично уравнение. Сега да помислим заедно. Това е система от две уравнения с две неизвестни. Матрицата, която съдържа коефициентите пред неизвестните, ще бъде с размери 2 х 2, и ще я умножим по вектор, който съдържа неизвестните променливи. Тук имаме две неизвестни променливи. Значи този вектор ще е с размери 2 х 1. Това е равно на вектор, който съдържа константите от дясната страна на уравненията, като, очевидно, те са две. Значи това също ще бъде вектор с размер 2 х 1. Сега можем да направим съвсем същото, което направихме в предишния пример в предишното видео. Коефициентите на членовете, съдържащи неизвестното х, са 2 и 3, а след това записваме коефициентите на членовете, съдържащи у. Тук ще бъде плюс едно, после имаме минус едно. Това умножаваме по вектор, съдържащ променливите х и у, и накрая, но не по значение, имаме това 9 и това 5 ето тук. Препоръчвам ти да извършиш това умножение. Да умножиш матрицата по този вектор. След като го направиш и това равенство все още е в сила, ще видиш, че това всъщност дава съвсем същата система от две уравнения с две неизвестни. Интересното тук е, че това може да се обобщи. По принцип можем да представим всяка система от n уравнения с n неизвестни в този вид – някаква матрица А с размери n х n по някакъв вектор "х" с размери n х 1. Това не е просто променливата х. Това е векторът х, който има n-измерения. Значи по някакъв вектор Х с размери n х 1, равно на някакъв вектор b с размери n х 1. Прието е да се използват точно тези букви. Значи това е n х 1. Можеш да видиш в тези различни сценарии – в първия случай имаме матрица с размери 3 по 3. Можем да я означим като матрицата А, а после това можем да означим като вектор "х", а това да означим като вектор b. Във втория случай можем да означим това като матрицата А, това означаваме като вектор "х", а това е вектор b. Можем да обобщим това за n измерения. Както казах в предишното видео, интересното за това е, че можем да разглеждаме, например, в тази система с две уравнения с две неизвестни – тук имаме уравнение на права, тук имаме уравнение на права, а х и у съответстват на координатите на пресечната точка на тези прави. Но когато го представим по този начин, можем също така да кажем, че ако имаме някакъв неизвестен вектор в координатната равнина, и ако го трансформираме с помощта на тази матрица, то ще получим вектор [9;5]. Така че искаме да установим кой вектор, трансформиран по този начин, ще ни даде вектора [9; 5], както го направихме в примера с матрица 3 по 3. Кой тримерен вектор, трансформиран по този начин, (сочи с жълтата точка на екрана) ни дава този вектор ето тук? С тези подсказки това ни показва къде можем да отидем. Ако можем да разнищим тази трансформация по някакъв начин, тогава можем да установим кои са тези неизвестни вектори. Щом можем да направим това в две измерения и в три измерения, защо да не можем да го направим в n измерения? И ще видиш, че това е много полезно, ако един ден работиш с данни, или се занимаваш с компютърни науки, или с някакъв вид компютърна графика.