Представяне на системи от уравнения с матрици

Аз предпочитам често да разглеждам една и съща задача по различни начини, по които да бъде осмислена. Ако, например, имам система от три уравнения с три неизвестни – ще измисля първото уравнение. 3x - 2y - z = -1, това е едното уравнение. В три измерения това уравнение би представяло една равнина. След това имаме друго уравнение, 2x + 5y + z = 0. Това уравнение съответства на друга равнина. Ако това са две равнини, които не са успоредни помежду си, те биха се пресичали под формата на права. След това, ако имахме трета равнина – ще я запиша – уравнението ѝ е -4x - y = 8, то е възможно, не е задължително винаги да е така, но е възможно тези три равнини да се пресичат в точно една точка с координати (х; y; z). В други видео уроци сме разглеждали как се решават такива системи от уравнения – система с три уравнения и три неизвестни. В това видео искам да свържа решаването на такава система и използването на матрици и умножението на матрици, което също сме разглеждали в други видео уроци. Можем да разгледаме точно същата задача по следния начин. Ако вземем коефициентите на всички неизвестни и съставим една матрица с размери 3 по 3 – ще го направя. Например мога да взема всички коефициенти на х – 3, 2 и минус 4, и ще ги запиша в първия стълб на матрицата: 3, 2 и минус 4. Сега да видим коефициентите на у. Минус 2, 5 и това е минус 1. Сега последно, но не по значение, всички коефициенти на z. Минус 1, плюс 1 и тук трябва да има 0, но не я виждаме. Значи това е минус 1, 1 и 0. В цикламено са коефициентите на х, в жълто са тези на у и в цвят сьомга са тези на z. Ако кажем, че ще умножим тази матрица по тримерен вектор, можем да кажем, че е неизвестен, вектор [х; у; z], това ще бъде равно на на друг тримерен вектор, който знаем, че е векторът [–1; 0; 8]. Представям си колко много те озадачава това в момента. Може би си казваш: "Сал, това прилича на магия. Ти току-що взе коефициентите, постави тук вектора [х; у; z], постави отдясно знак за равенство, след това взе стойностите от страната, в която няма променливи, постави ги ето тук. Какво означава всичко това? Има ли полза от него? За да проверим, хайде да извършим умножението в лявата страна на това уравнение ето тук. В други видео клипове сме разглеждали умножението на тримерна матрица по – в този случай по матрица 3 по 1, при което получаваме матрица 3 по 1. Така че това вече е каквото трябва. Причината, поради която сме сигурни в това, е, че тези размери трябва да си съответстват, за да бъде дефинирано тяхното произведение. Размерът на полученото произведение трябва да е 3 по 1. Но хайде да извършим умножението. Знаем един начин да конструираме това, като ще се фокусирам само върху лявата страна, което е все едно да умножим първия ред и този вектор-стълб и после да съберем произведенията на съответните членове, ако мога така да се изразя. Значи това е 3 по х, минус 2 по у, минус 1 по z, ето така. След това ще умножа втория ред на матрицата по този вектор-стълб. Това дава 2 по х – това е просто преговор на умножение на матрици – плюс 5 по у, плюс 1 по z. И накрая, но не по значение, умножавам третия ред на матрицата по този вектор-стълб, става минус 4 по х, минус 1 по у, мога да го запиша просто като минус у, и после 0 по z, което мога да запиша, ако искам, но мога и да го пропусна, но предпочитам да го запиша. Ще го запиша за повече яснота. Така че произведението на това, което имаме отляво, е това ето тук. Това изглежда като матрица 3 х 3, но по същество е 3 х 1, защото първият ред ще ни даде, ако знаем стойностите на х, у и z, той ще ни даде някакво число. По същия начин вторият ред ще ни даде някакво друго число, и третият ред ще бъде някакво друго число. И така знаем от това, ако мога да се изразя така, от този матричен вектор или от това матрично уравнение, което съставихме, че тази лява страна, това произведение, трябва да е равно на това, което имаме от дясната страна. Трябва да е равно на [-1; 0; 8], което означава, и мисля, че сега вече започваш да виждаш връзката, че първият елемент отляво трябва да е равен на първия елемент отдясно, че вторият елемент отляво трябва да е равен на втория елемент отдясно, и последно, но не по значение, -4x - y + 0z трябва да е равно на осем, което е точно това, което виждаме в първоначалната система от уравнения. Сигурен съм, че има още неща, върху които си задаваш въпроси. Един въпрос вероятно е, че всичко това е много хубаво, намерихме различни начини да представим това, но как това ни предоставя нов начин за решаване на системата? Засега ще ти кажа само, че това наистина ни дава нов начин за решаване на системата от уравнения. Защото, ако се замислиш, ние намираме произведението на матрица и вектор и получаваме друг вектор. Ако има някакъв начин да разплетем това умножение на матрици, тогава ще можем да го направим, да приложим този вектор тук отдясно, и после да намерим този неизвестен вектор тук. Това е начинът, по който компютрите и компютърните алгоритми подхождат към решаването на такива задачи – като ги представят като матрици. Другото интересно нещо, е че просто самото представяне е начин да разглеждаш задачата малко по-различно. Можеш да я разглеждаш като три равнини в три измерения и да търсим координатите х, у и z на мястото, където те биха се пресекли, или можеш да разглеждаш тази матрица 3 х 3 тук като матрица на трансформация, която можем да приложим към някакъв неизвестен тримерен вектор, и при тази трансформация този неизвестен тримерен вектор ще стане равен на този известен тримерен вектор, на вектора [-1; 0; 8]. Така че, когато решаваме тази система, е все едно да кажем: можем ли да извършим обратна трансформация, на тази дясната страна, за да намерим кой е неизвестният вектор? Спирам дотук и ще продължим темата в следващите видео уроци.