Решаване на линейни системи с матрици

че можем да вземем система от две уравнения с две неизвестни и да я представим като матрично уравнение, в което s-овете в матрицата са коефициентите тук в лявата страна. Векторът-стълб х има две неизвестни променливи s и t. После векторът-стълб b като цяло представя дясната страна тук. Интересното беше, че това ще е матрицата А по вектор-стълб х ще е равно на векторът-стълб b. Интересното беше, че видяхме, ако А е обратима де, че можем да умножим двете страни на уравнението, и че трябва да ги умножим с левите страни на съответните им страни по обратната матрица А, защото... помним, че когато умножаваме матрици, последователността е от значение... умножаваме левите страни на двете страни на уравнението. Ако направим това, стигаме до решаване за неизвестен вектор-стълб. Ако знаем какъв е вектор-стълб х, тогава ще знаем колко са s и t. И всъщност ще сме решили тази система от уравнения. Хайде да го направим. Нека намерим обратната А и да я умножим по вектор-стълб b, за да намерим вектор-стълб х, а също така s и t. Обратната матрица А е равна на 1 върху детерминантата на А. Детерминантата на А за 2 х 2 ще е равна на 2 по 4, минус –2 по –5. Ще бъде 8 минус 10, което ще е –2. Това тук ще бъде –2. Отново: 2 по 4 е 8 минус –2 по –5, което е 10, и получаваме –2. Умножаваме 1 върху детерминантата по тъй наречената спрегната А, което означава да разменим горния ляв и долния десен елемент, поне в случаите на 2 х 2 матрици. Това ще е 4. Това ще е 2. Забележи, че просто размених тези и ще направя тези двете отрицателни, т.е. отрицателни на това, което вече са. Това от –2 ще стане 2, а това тук ще стане 5. Ако това ти изглежда напълно непознато, ще е добре да прегледаш урока за обратни матрици, защото това правя сега. Обратната матрица А ще е равна на... Обратната А ще е равна на... да видим... това е –1/2 по 4, което е –2. –1/2 по 5 е -2,5. –1/2 по 2 е –1. –1/2 по 2 е –1. Това е обратната матрица А. Хайде да умножим обратната А по нашия вектор-стълб 7, –6. Хайде да го направим. Това е обратната А. Ще я препиша. –2, –2,5, –1, –1 по 7, –6. Ще запиша всичко тук в бяло. 7, –6. Доста се упражнявахме с умножение на матрици. На какво ще е равно това? Първият елемент ще е –2 по 7, което е –14, плюс –2,5 по –6. Да видим. Това ще бъде положително. Това ще е 12 плюс 3. Това ще е 15. Плюс 15. –2,5 по –6 е 15. После ще имаме –1 по 7, което е –7, плюс –1 по –6. Това е 6. Произведението на обратната матрица А и b, което е същото нещо като вектор стълб х, e равно на... заслужаваме малко барабани... вектор стълб 1, –1. Показахме, че това е равно на 1, –1 или че х е равно на 1, –1. Можем също да кажем, че векторът-стълб, вектор-стълб st, векторът-стълб с елементите s и t е равен на 1, –1. Равен е на 1, –1, което казано по друг начин означава, че s е равно на 1, а t е равно на –1. Знам какво си мислиш. Казах това в миналото видео и ще го кажа пак и в това. Мислиш си: "Щеше да е много по-лесно просто да реша директно системата само използвайки елиминирането или заместването." Съгласен съм с теб, но това е полезна техника, защото когато решаваш задачи в програмирането, може да има ситуации, в които лявата страна на това уравнение ще остава същата, но ще има много, много, много различни стойности за дясната страна на системата. И може би ще е по-лесно просто да намериш обратната матрица веднъж и да продължиш да умножаваш обратната по различните неща в дясната страна. Сигурно знаеш за някои видове. Има графични процесори, видео карти на компютри, а говорят и за специални графични процесори. Всъщност говорят за хардуер, което е специализиран за много бързо умножаване на матрици, защото когато работиш с графични процесори, моделираш неща в три измерения, и правиш много трансформации. Всъщност много пъти умножаваш матрици много, много, много бързо в реално време, за да може потребителят, който играе играта, или нещо подобно, да усеща, че е в някакъв вид 3D реалност. Само искам да изтъкна, че това нямаше да стане, ако просто бях използвал инстинктите си и бях решил с елиминиране. Но умението да разглеждаш това като матрично уравнение е много, много полезна идея, не само в програмирането, а също и в по-висшите науки. Особено във физиката ще видиш много матрични векторни уравнения като това, които ползват общи термини. Много е важно да се мисли какво всъщност представляват тези неща