Използване на матрици за трансформиране на четиримерен вектор

Вече отделихме доста време на трансформационните матрици 2 х 2, чрез които можем да изобразим всяка произволна точка в координатната равнина в друга точка, или можем да изобразим произволен двумерен вектор в друг двумерен вектор. В това видео ще обобщим малко и ще разберем, че същите принципи могат да се използват и в n-мерно пространство. Знам, че това звучи малко претенциозно, и в някаква степен това е така, но по същество принципът е съвсем същият. Нека, например, да разширим това, което знаем за две измерения, да го разширим, например, за четири измерения. Тук ще запиша един четиримерен вектор, но знаем, че е трудно да си представим вектор в 4 измерения, така че не се ядосвай, ако не успяваш. В две измерения не е толкова трудно, в три измерения не е чак така трудно, но четири измерения вече ни затруднява. Може би можем да си представим времето като четвърто измерение, но в света на матриците или в света на векторите е доста лесно да ги представим, колкото и трудно да е да ги онагледим. Нека е даден един четиримерен вектор, което означава, че имаме 4 числа. Минус 1, да видим, минус 3 – измислям съвсем произволни числа – минус 5 и 1. Това е четиримерен вектор, който можем да разглеждаме като претеглена сума на единичните вектори в различните измерения на четиримерното пространство. Предполагам, че можем да се изразим по този начин. Може би се досещаш, че това е същото нещо като – всъщност ще използвам тук различни цветове. Това ще е равно на минус едно по вектора [1; 0; 0; 0] плюс минус 3 по вектора [0; 1; 0; 0], плюс минус 5 по вектора [0; 0; 1; 0]. Мисля, че се досещаш какво следва. Накрая, но не по значение, плюс 1 по вектор [0; 0; 0; 1]. Сега, като го записах по този начин, може би веднага ти става ясно как да направиш тези трансформации. Например, ако ти дам трансформационната матрица, като това ще е трансформационна матрица с четири измерения – матрица с размери 4 х 4. Ще избера някакви произволни числа. Едно, нула, минус три, минус едно, две, нула, минус три, едно, три, две, нула, две, три, минус едно, нула и три. Въпросът ми към теб е: кой ще бъде образът на този четиримерен вектор, ако приложим към него тази трансформация в четиримерно пространство? Какъв резултат ще получим? Постави видеото на пауза и помисли върху това. Това е напълно аналогично на това, което направихме в две измерения, т.е. в двумерното пространство. Ние видяхме, че – добре, вместо вектора [1; 0; 0; 0], сега ще използваме този вектор. (огражда го) Вместо вектора [0; 1; 0; 0], сега ще използваме този вектор. (огражда го) Вместо този вектор в синьозелен цвят, сега ще използваме този вектор. (огражда го) И накрая, вместо този вектор, в цвят сьомга, ако мога така да го определя, сега ще използваме този вектор. (огражда го) Друг начин да разглеждаме това е, че изобразяването на този вектор – ще го запиша по следния начин – ще поставя тук една черта, така че да отделя малко нещата. Мога да запиша, че... малко е дребно обаче, надявам се, че можеш да го видиш. Значи това е нашият първоначален вектор [-1; -3; -5; 1], като тук ще поставя горен индекс "прим". В какво се изобразява той при тази трансформация? Това ще стане минус едно, но вместо по първия единичен вектор ето тук горе, ще бъде минус едно по този вектор тук (ограден с жълто). Значи минус едно по всичко това, по [1; 2; 3; 3]. След това имаме вместо плюс минус три, мога да го запиша като минус три по всичко това тук, (стълбът, ограден с лилаво) по [0; 0; 2; -1]. След това имаме минус 5 по стълба, ограден в синьо, по минус 3, минус 3, после имаме нула, нула, и после... това определено става малко по-сложно, колкото повече са измеренията – плюс едно по последния стълба от матрицата. Значи плюс едно по [-1; 1; 2; 3]. На какво е равно това? Сега е подходящият момент да поставиш видеото на пауза и да опиташ да продължиш самостоятелно. Добре, да видим това първото – просто ще направя всички елементи отрицателни. Значи минус едно, минус 2, минус 3, минус 3, и към това ще прибавя – да видим, ако умножа всичко това по минус 3, получавам нула, нула, минус 6, и плюс 3. След това, ако умножа всички тези по минус пет, получавам 15, 15, нула, нула. След това, ако умножа всички тези по едно, получавам пак същите неща. Значи ще бъде минус едно, едно, две, три. Вече сме почти на финала. Сега само трябва да съберем всички тези съответни членове. Ще получим минус 1 плюс 0, плюс 15, плюс -1. Това е равно на 15 минус 2, което дава 13. После минус 2 плюс 0, плюс 15, плюс 1, това дава 16 минус 2, което е равно на 14. После имаме минус 3 плюс минус 6, което е минус 9, към което прибавяме 2, така че дава минус 7. След това имаме минус 3 плюс 3, което дава 0, плюс 0 дава 0, плюс 3 дава 3, и сме готови. Намерихме изображението на този четиримерен вектор с помощта на трансформационна матрица 4 х 4. Много яко!