Използване на матриците за трансформации в равнината: конструиране на матрици

Дадени са ни две отделни трансформационни матрици. В това видео искам да конструираме нова матрица, която е съчетание от тези две трансформации. Казано по-просто, нова трансформация, която се базира на прилагането първо на едната от тези трансформации, а после прилагането на другата трансформация. Първо да разгледаме какво се случва тук. Ако имаме някакъв произволен вектор [a; b], който знаем, че може да се представи като а по вектора [1; 0] – т.е. по единичния вектор в посока х – плюс b по вектора [0; 1] – т.е. по единичния вектор във вертикална посока. Ако искаме да приложим тази трансформация, означена с главна буква А, това означава, че вместо да използваме означенията [1; 0] и [0; 1], ще използваме тези два стълба на тази матрица. Ако приложим тази трансформация, предполагам, че можем да наречем това [а; b]-прим, тогава, ако приложим трансформацията главно А, т.е. трансформационната матрица А, това ще стане а по, само че не по [1; 0], а ще използваме [0; 5]. После имаме плюс b, но не по [0; 1], а по [2; -1]. Това е просто преговор. В това видео ще разгледаме каква би била трансформационната матрица за композицията на тези две трансформации. Мога да го запиша на екрана като ВоА (чете се В от А). Вероятно ти е познат този вид запис от работата ни с функции, като това, по същество, означава, че първо прилагаме функцията А, а след това получения резултат въвеждаме във функцията В и получаваме нейния резултат. Това е логично, защото можем да разглеждаме трансформационните матрици като функции, които изобразяват точки в координатната равнина. В този случай коя е трансформационната матрица, която е комбинация от тези двете? Постави видеото на пауза и помисли върху това. Това, което ще се случи, е, че първо ще трансформираме произволна точка спрямо тези два вектора, векторите [0; 5] и [2; -1], защото това е първата трансформация, която правим. След това ще приложим втората трансформация към вектора, който сме получили от първата трансформация. Това изглежда доста сложно, затова не искам да го записвам чрез А и В, а искам да го запишем просто като една трансформационна матрица. Един начин да разсъждаваме е, че можем да трансформираме всеки от тези вектори, (огражда ги с лилаво) които се съдържат в матрицата А. Понеже, спомни си, това ни казва в какво се превръщат векторите [1; 0] и [0; 1]. Ако трансформираме вектора [0; 5] с помощта на матрицата В, и ако трансформираме вектора [2; -1] с помощта на матрицата В, после ги поставяме в съответните им стълбове, и получаваме комбинацията от тези две трансформационни матрици. Ще го запиша по следния начин – само да си освободя малко място. Да кажем, че имаме композицията В от А равно на – ще направя една голяма матрица 2 х 2 ето тук. Първо прилагаме трансформационната матрица В върху този цикламен стълб ето тук. Какво ни казва това? Това ще стане нула по минус 3, 1. Ще го запиша по следния начин. Това ще бъде нула по [-3; 1] плюс пет по [0; 4]. Това ще ни даде вектор [2; 1] ето тук. Можеш да разглеждаш това като попълване на първия стълб на тази трансформация, на тази композиция, ако мога така да се изразя. Сега да помислим за втория вектор – да разгледаме вектора [2; -1]. Ако го трансформираме с помощта на В, какво ще получим? Ще получим две по [-3; 1]. Ето тук имаме две по [-3; 1], плюс минус едно... или може би просто ще го напиша по следния начин: минус едно по [0; 4]. Това още не изглежда като матрица, но като го преобразуваме, ще се превърне в матрица. Например, ако умножа нула по всичко това, ще получа нула, а после 5 по нула ще бъде – ще го запиша по следния начин. Това ще стане пет по нула, което дава нула, пет по 4 дава 20. После тази матрица ето тук ще бъде две по [-3; 1], което дава [-6; 2], а после имаме минус [0; 4]. Ако искам да го запиша на чисто, като матрица 2 х 2, това е равно на – тук заслужаваме аплодисменти – първият стълб е 0; 20. Вторият стълб е – да видим – минус 6 минус 0 дава минус 6, после 2 минус 4 дава минус 2. Готови сме. Току-що конструирахме нова трансформационна матрица. Тя се основава на композицията В от А. Ако първо приложим трансформацията А към произволен вектор, а после приложим трансформацията В към получения резултат, това е еквивалентно просто да приложим тази трансформационна матрица 2 х 2 – матрицата В от А.