Използване на матриците за трансформации в равнината: изобразяване на вектор

Даден е вектор [3; 2]. Знаем, че можем да изразим вектора като претеглена сума от единичните вектори в двете измерения или можем да го разглеждаме като линейна комбинация. Можем да го разглеждаме като три по единичния вектор в посока х, който е векторът [1; 0], плюс 2 по единичния вектор в посока у, който е векторът [0; 1]. Можем да начертаем вектора [3; 2], като кажем че имаме три пъти единичния вектор в посока х – това е един път единичния вектор, това са два и това са три единични вектора. След това имаме плюс два пъти единичния вектор в посока у. Един път и после два пъти, така разбираме къде се намира нашия вектор или как изглежда. Векторът [3; 2] ще изглежда по този начин. (построява го в лилав цвят) Сега да приложим една трансформация към този вектор. Да кажем, че имаме трансформационната матрица, която ще запиша по следния начин: две, едно, две, три. Това вече сме го учили. Един начин да разсъждаваме е, че трансформационната матрица ни дава образите на единичните вектори. Така че, вместо да разглеждаме тази линейна комбинация на единичните вектори, тя ни дава линейната комбинация от образите на единичните вектори, когато приложим трансформацията. Какво означава това? Вместо да имаме три вектора [1; 0], сега имаме три вектора [2; 1]. Вместо да имаме два вектора [0; 1], сега имаме два вектора [2; 3]. Мога да го запиша по следния начин. Ще го запиша по следния начин – образът на първоначалния ни вектор – ще сложа тук горен индекс прим, за да покажа, че това е образът, който ще бъде три по, но вместо по вектор [1; 0], ще бъде по вектор [2; 1]. Това е образът на единичния вектор [1; 0] при тази трансформация. После казваме плюс два пъти, но не по вектора [0; 1], а ще вземем образа при трансформация на вектора [0; 1], който получаваме при трансформацията с тази матрица, и това е векторът [2; 3]. Можем да начертаем това. Ако имаме три вектора [2; 1] и два вектора [2; 3], като мога да използвам тази допълнителна мрежа за улеснение – това е вектор [2; 1], който е един път [2; 1], това са два вектора [2; 1], което ни довежда ето тук. След това имаме три пъти вектора [2; 1], ето тук. Значи имаме три вектора [2; 1]. Ще използвам различен цвят. Тази част ето тук (подчертава я) ще бъде ето този вектор. Три пъти вектора [2; 1] ще изглежда ето така. След това към това прибавяме два пъти вектора [2; 3]. Това ще ни доведе... Да видим, две и после три, значи това е един път [2; 3], после два пъти [2; 3] и се озоваваме ето тук. Сега ще премахна тази мрежа, за да можем да виждаме малко по-ясно нещата. Така тук в цикламено имаме първоначалния вектор [3; 2], а сега образът ще бъде три пъти [2; 1] плюс два пъти вектор [2; 3], така че образът на вектора [3; 2] при тази трансформация ще бъде този вектор, който построявам ето тук. (в розово) Когато го разглеждам на око, той изглежда като вектор [10; 9]. Можем да проверим това, като направим пресмятанията. Да направим проверка. Това ще е равно на 3 по 2, което дава 6, 3 по 1 дава 3. Към това прибавяме 2 по 2, което дава 4, 2 по 3 дава 6. Сега само трябва да съберем съответните елементи, 6 плюс 4 дава 10, и 3 плюс 6 дава 9. Готови сме. Важният извод тук е, че всеки вектор може да се представи като линейна комбинация от единичните вектори. Когато прилагаме някаква трансформация, тя се превръща в линейна комбинация, но не на единичните вектори, а на образите на единичните вектори. И ние видяхме това нагледно, след което го потвърдихме алгебрично.