Пример за очаквана печалба: лотариен билет

Дадено е, че лотарийната игра "Избери 4" включва изтеглянето на четири номерирани топки от отделни кутии, всяка от които съдържа топки с номера от 0 до 9. Това означава, че има общо 10 000 възможни резултата. Например може да бъдат изтеглени 0, 0, 0 и 0, 0, 0, 0 и 1, и така нататък до 9999 – четири деветки. Играчите могат да направят директен залог, при който печелят, ако познаят всички четири топки в правилния ред. Лотарията изплаща 4500 долара при успешен директен залог. Нека означим с х чистата печалба от директен залог за 1 долар. "Изчисли очакваната чиста печалба." Дават ни подсказка, че очакваната чиста печалба може да е отрицателна. Постави видеото на пауза и опитай да изчислиш очакваната чиста печалба. Добре. Има няколко начина да подходим към задачата. Единият е да разгледаме два различни резултата. Единият сценарий е да спечелиш с твоя директен залог. Другият сценарий е да загубиш с твоя директен залог. Сега да помислим колко е чистата печалба при всеки от тези два сценария. В случая, когато печелиш, плащаш 1 долар – знаем, че директният залог е 1 долар, а получаваш 4500 долара. Колко е чистата печалба? Тя е 4500 минус едно. Значи чистата печалба е 4499 долара. А колко е чистата печалба, когато не познаеш числата? Когато губиш, просто губиш един долар. Значи тук имаме минус 1 долар. Сега да помислим за вероятностите за всяка от тези ситуации. Значи вероятността да спечелиш знаем, че е 1 на 10 000. Каква е вероятността да загубиш? Тя е 9999 на 10 000. Математическото очакване или очакваната печалба е просто средно претегленото от тези двете. Мога да запиша, че очакваната чиста печалба е 4499 по вероятността за този резултат, която е 1 към 10 000, плюс минус 1 по това, мога да го напиша просто като минус 9999 върху 10 000. Това ще бъде равно на – да видим – 4499 минус 9999, цялото върху 10 000. Да видим, това ще бъде равно на минус 5500 върху 10 000. Това е равно на минус 55 върху 100, или мога да го напиша по следния начин: това е равно на минус 0,55. Това е единият начин да се изчисли очакваната чиста печалба. Друг начин да подходим е да се запитаме: какво ще стане, ако купим 10 000 билета? Каква е очакваната чиста печалба от 10 000 билета? Ще платим 10 000 долара, а можем да очакваме само една печалба. Не е гарантирано, но можем да очакваме да спечелим веднъж. Значи очакваме печалба от 4500 долара. Тогава – да видим – имаме чиста печалба от минус 5500 долара. Това е чистата печалба от закупени 10 000 билета. Ако искаме да знаем математическото очакване от един билет, тогава просто ще разделим на 10 000. Ако направим това, ще получим съвсем същото, каквото получихме по другия начин. Независимо по кой начин пресмятаме, тази лотария не си заслужава.