Пример за определяне на вероятности чрез пермутации и комбинации: разпознаване на вкусове

В условието е дадено, че Самара организира дегустация на зехтини на един фестивал. От петнайсет различни вида Самара ще избере три различни вида зехтин и ще ги смеси. Участниците трябва да дегустират сместа и да определят кои три от 15-те вида зехтини са използвани в сместа. Да предположим, че даден участник не открива никаква разлика и отгатва на случаен принцип. Каква е вероятността един участник да отгатне правилно кои три вида зехтин са използвани? Постави видеото на пауза и опитай самостоятелно да отговориш. Може просто да изведеш израз, не е нужно да го изчисляваш. Това вероятно е достатъчно, поне за нашите цели. Добре, сега да решим примера заедно. Тук знаем няколко неща. Имаме 15 различни вида зехтин и избираме три от тях. Винаги, когато разглеждаме вероятности и комбинаторика, трябва да си задаваме въпроса "Дали редът има значение?" Има ли значение в какъв ред Самара е избрала 3 от 15 вида зехтин? Явно това е без значение. Изглежда ни интересуват само кои са тези три вида зехтин. Няма значение в какъв ред ги е избрала или в какъв ред ги отгатва участникът. Ако разглеждаш общия брой начини да се изберат три неща от група от 15, можеш да го запишеш като комбинация от 15 елемента 3 клас. (У нас комбинациите се записват по различен начин: С с долен индекс n и горен индекс k, като n = 15, а k = 3) Това е просто съкратен начин за записване – колко е броят на комбинациите, когато избираме три неща от група от 15? Може би се изкушаваш да кажеш: "Тук ще разгледам вариациите. Имам 15 неща. Искам да намеря колко начина има да избера 3 от тях, когато редът няма значение." (У нас вариациите се записват по различен начин: V с долен индекс n и горен индекс k, като n = 15, а k = 3) Но в такъв случай ние разглеждаме ситуация, в която участниците всъщност трябва да отгатнат в какъв ред са избрани различните видове зехтин, които са смесени, или нещо подобно. Но нашият пример не е такъв. Интересува ни само кои са трите вида зехтин в сместа. Значи това ни казва по колко начина можем да изберем три неща от 15. Така че каква е вероятността някой участник да отгатне правилно кои три вида са използвани? Участникът ще отгатне един от възможните сценарии тук. Вероятността е комбинация от 1 върху 15 елемента 3 клас. Ако искаш да изчислиш това, това е равно на едно върху... колко начина има да изберем три от 15? Има специална формула, но аз винаги обичам да разсъждавам върху случая. Можем да кажем: "Ако имаме три слота, в тях можем да избираме един от 15 варианта, който да отиде в първия слот, след това остават 14, от които един да отиде във втория слот, и след това има 13 варианта, от които един да отиде в третия слот." Не трябва да забравяме, че няма значение в какъв ред ги избираме. По колко начина можем да преподредим три неща? Това е 3 факториел или три по две, по едно. Това е равно на 3 по 2, по 1, върху 15 по 14, по 13. Можем да опростим, като разделим числителя и знаменателя на 2 и делим числителя и знаменателя на 3. Това е равно на 1 върху 35 по 13. Ще бъде равно на 1 върху 350 плюс 105, което е 455. И задачата е решена.