Основно съдържание

Въведение в математическия анализ

Курс: Въведение в математическия анализ > Раздел 4

Урок 7: Събиране и изваждане на рационални изрази

Събиране и изваждане на рационални изрази

Научи ли основното за събиране/изваждане на рационални изрази? Чудесно! Сега натрупай още опит с няколко по-сложни примера.

Какво трябва да знаем преди този урок

Рационален израз е частното на два израза (полинома).

При събиране или изваждане на два рационални израза с еднакъв знаменател просто събираме или изваждаме числителите и записваме резултата върху общия знаменател.

Когато знаменателите не са еднакви, трябва да ги трансформираме така, че да станат еднакви. С други думи, трябва да намерим общ знаменател.

Ако този материал е нов за теб, може би ще поискаш да прегледаш първо следните уроци:

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще упражняваш събирането и изваждането на рационални изрази с различни знаменатели. Ще използваш най-малкия общ знаменател като общ знаменател в тези примери и ще разбереш защо е полезно да го правиш.

Загрявка: $\frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}$ ‍

За да извършим изваждане на два рационални израза, двете дроби трябва да имат еднакъв знаменател.

В този пример можем да създадем общ знаменател, като умножим първата дроб по

(\frac{x + 1}{x + 1})

, а втората дроб по

(\frac{x - 2}{x - 2})

[Защо можем да направим това?]

След това можем да извадим числителите и да запишем резултата върху общия знаменател.

\begin{aligned} \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1} \\ = \frac{3}{x - 2} (\frac{x + 1}{x + 1}) - \frac{2}{x + 1} (\frac{x - 2}{x - 2}) \\ = \frac{3 (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} \\ = \frac{3 (x + 1) - 2 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1)} \\ = \frac{3 x + 3 - 2 x + 4}{(x - 2) (x + 1)} \\ = \frac{x + 7}{(x - 2) (x + 1)} \end{aligned}

Провери знанията си

Задача 1

Събери.
Знаменателят трябва да се развие и опрости. Знаменателят трябва да е или развит, или разложен на множители.

\frac{5 x}{x + 3} + \frac{4}{x + 2} =

Най-малки общи знаменатели

Обикновени дроби

Понякога знаменателите на две дроби са различни, но имат някои общи множители.

Наприме разгледай

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{2 \cdot 3} (\frac{2}{2}) \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}

Обърни внимание, че общият знаменател, използван в този пример, не е произведението на двата отделни знаменателя (

24

). Вместо това той е най-малкото общо кратно на

4

6

(

12

[Какво означава най-малко общо кратно?]

Най-малкото общо кратно на знаменателите на две или повече дроби се нарича най-малък общ знаменател.

[Откъде разбра, че 12 е най-малкият общ знаменател тук?]

Изрази с променливи

Нека сега да приложим това обяснение, за да извършим следното събиране:

\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)}

Първо да намерим най-малкия общ знаменател:

\underset{\begin{aligned} Трябва a \\ да се умножи по \\ (x + 3) \end{aligned}}{\underset{⏟}{\frac{2}{(x - 2) (x + 1)}}} + \underset{\begin{aligned} Трябва a \\ да се умножи по \\ (x - 2) \end{aligned}}{\underset{⏟}{\frac{3}{(x + 1) (x + 3)}}}

Следователно най-малкият общ знаменател е

(x - 2) (x + 1) (x + 3)

Можем да съберем рационалните изрази, както следва:

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} (\frac{x + 3}{x + 3}) + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} (\frac{x - 2}{x - 2}) \\ = \frac{2 (x + 3)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3 (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{2 (x + 3) + 3 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2 x + 6 + 3 x - 6}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{5 x}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \end{aligned}

Провери знанията си

Задача 2

\frac{1}{x (x - 6)} + \frac{3}{(x + 1) (x - 6)} =

Задача 3

Извади.
Знаменателят трябва да се развие и опрости. Знаменателят трябва да е или развит, или разложен на множители.

\frac{3 x}{2 (x - 1)} - \frac{4}{(x - 1) (x + 2)} =

Задача с повишена трудност

\frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2} - 3 x - 4} =

Защо да използваш най-малкия общ знаменател?

Може би се чудиш защо е толкова важно да използваш най-малкия общ знаменател, за да събираш или изваждаш рационални изрази.

В края на краищата, това не е задължително и е достатъчно лесно да използваш други знаменатели с обикновените дроби.

Например в таблицата по-долу е изчислено

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

с използване на два различни общи знаменателя: в единия се използва най-малкият общ знаменател (

12

), а в другия се използва произведението на двата знаменателя (

24

Най-малък общ знаменател ( $12$ ‍)	Общ знаменател ( $24$ ‍)
$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{6} (\frac{2}{2}) \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{6}{6}) + \frac{1}{6} (\frac{4}{4}) \\ = \frac{18}{24} + \frac{4}{24} \\ = \frac{22}{24} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍

Обърни внимание, че когато използваш

24

като общ знаменател, е необходима повече работа. Числата са по-големи и се налага получената крайна дроб да бъде опростена.

Това ще се случи също, ако не използваш най-малкия общ знаменател при събиране и изваждане на рационални изрази.

При рационалните изрази, обаче, този процес е много по-сложен, тъй като числителите и знаменателите са многочлени, а не цели числа! Ще трябва да извършваш аритметични операции с многочлени от по-висока степен и да разлагаш многочлени, за да опростиш дробния израз.

[Искам да видя пример за това с рационални изрази]

Цялата тази допълнителна работа може да се избегне, ако използваш най-малкия общ знаменател при събирането и изваждането на рационални изрази.