Основно съдържание

Въведение в математическия анализ

Курс: Въведение в математическия анализ > Раздел 4

Урок 7: Събиране и изваждане на рационални изрази

Въведение към събиране и изваждане на рационални изрази

Научи как да събереш или извадиш два рационални израза в един пример.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Рационален израз е частното на два полинома. Например изразът start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction е рационален израз.

Ако не познаваш рационалните изрази, можеш да видиш нашето Въведение в рационалните изрази.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научиш как да събираш и изваждаш рационални изрази.

Събиране и изваждане на рационални изрази (с общи знаменатели)

Обикновени дроби

Можем да събираме и изваждаме рационални изрази по начин, много подобен на този, по който събираме и изваждаме обикновени дроби.

При събиране и изваждане на обикновени дроби с еднакъв знаменател просто събираме и изваждаме числителите и записваме резултата върху общия знаменател.

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueE4}{\purpleD5}-\dfrac{\blueE1}{\purpleD5} \\\\ &=\dfrac{\blueE{4}-\blueE{1}}{\purpleD 5} \\\\ &=\dfrac{3}{5} \end{aligned}

Изрази с променливи

Процесът е същият при рационалните изрази:

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueE{7a+3}}{\purpleD{a+2}}+\dfrac{\blueE{2a-1}}{\purpleD{a+2}} \\\\ &=\dfrac{(\blueE{7a+3})+(\blueE{2a-1})}{\purpleD{a+2}} \\\\ &=\dfrac{{7a+3}+{2a-1}}{{a+2}} \\\\ &=\dfrac{9a+2}{a+2} \end{aligned}

Добре е да сложиш числителите в скоби, особено когато изваждаш рационални изрази. Така няма опасност да объркаме нещата с отрицателния знак!

Например:

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueE{b+1}}{\purpleD{b^2}}-\dfrac{\blueE{4-b}}{\purpleD{b^2}} \\\\ &=\dfrac{(\blueE{b+1})-(\blueE{4-b})}{\purpleD{b^2}} \\\\ &=\dfrac{b+1-4+b}{{b^2}} \\\\ &=\dfrac{2b-3}{b^2} \end{aligned}

Провери знанията си

Задача 1

Събери.

start fraction, x, plus, 5, divided by, x, minus, 1, end fraction, plus, start fraction, 2, x, minus, 3, divided by, x, minus, 1, end fraction, equals

Задача 2

Извади.

start fraction, x, plus, 1, divided by, 2, x, end fraction, minus, start fraction, 5, x, minus, 2, divided by, 2, x, end fraction, equals

Събиране и изваждане на рационални изрази (с различни знаменатели)

Обикновени дроби

За да разбереш как да събираш и изваждаш рационални изрази с различни знаменатели, нека първо да видим как се прави това при обикновените дроби.

Например хайде да намерим start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{\blueE3}+\dfrac{1}{\tealE2} \\\\ &=\dfrac{2}{\blueE3} \left(\tealE{\dfrac{2}{2}}\right)+\dfrac{1}{\tealE2}\left( \blueE{\dfrac{3}{3}}\right) \\\\ &=\dfrac{4}{6}+\dfrac{3}{6} \\\\ &=\dfrac{7}{6} \end{aligned}

Обърни внимание, че ни е необходим общ знаменател 6, за да съберем двете дроби:

Знаменателят на първата дроб (start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99) трябва да умножим по start color #208170, 2, end color #208170.
Знаменателят на втората дроб (start color #208170, 2, end color #208170) трябва да умножим по start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99.

Всяка дроб е била умножена по нещо, равно на 1, за да се получи това.

Изрази с променливи

Нека сега да приложим това към следния пример:

start fraction, 1, divided by, start color #0c7f99, x, minus, 3, end color #0c7f99, end fraction, plus, start fraction, 2, divided by, start color #208170, x, plus, 5, end color #208170, end fraction

За да бъдат двата знаменателя еднакви, в първия трябва да има множител start color #208170, x, plus, 5, end color #208170, а във втория - множител start color #0c7f99, x, minus, 3, end color #0c7f99. Хайде да преобразуваме дробите, за да постигнем това. След това можем да извършваме събиране както обикновено.

\begin{aligned} &\phantom{=}{\dfrac{1}{\blueE{x-3}}+\dfrac{2}{\tealE{x+5}}} \\\\ &=\dfrac{1}{\blueE{x-3}}{\left(\tealE{\dfrac{x+5}{x+5}}\right)}+\dfrac{2}{\tealE{x+5}}{\left(\blueE{\dfrac{x-3}{x-3}}\right)} \\\\ &=\dfrac{1(x+5)}{(x-3)(x+5)}+\dfrac{2(x-3)}{(x+5)(x-3)} \\\\ &=\dfrac{1(x+5)+2(x-3)}{(x-3)(x+5)} \\\\ &=\dfrac{1x+5+2x-6}{(x-3)(x+5)} \\\\ &=\dfrac{3x-1}{(x-3)(x+5)} \end{aligned}

Обърни внимание, че първата стъпка е възможна, защото start fraction, x, plus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction и start fraction, x, minus, 3, divided by, x, minus, 3, end fraction са равни на 1, а умножението по 1 не променя стойността на израза!

[А какво става с недопустимите стойности?]

В следващите две стъпки преработихме числителя. Въпреки че можеш също да умножиш left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis и left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis в знаменателя, прието е той да се оставя в разложен вид.

Провери знанията си

Задача 3

Събери.

start fraction, 3, divided by, x, plus, 4, end fraction, plus, start fraction, 2, divided by, x, minus, 2, end fraction, equals

Задача 4

Извади.

start fraction, 2, divided by, x, minus, 1, end fraction, minus, start fraction, 5, divided by, x, end fraction, equals

Какво следва?

В нашата следваща статия разглеждаме по-сложни примери за събиране и изваждане на рационални изрази.

Ще разбереш какво е най-малък общ знаменател и защо е важно да го използваш като общ знаменател при събирането и изваждането на рационални изрази.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.