Основно съдържание

Курс: Въведение в математическия анализ > Раздел 4

Урок 7: Събиране и изваждане на рационални изрази

Въведение към събиране и изваждане на рационални изрази

Научи как да събереш или извадиш два рационални израза в един пример.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Рационален израз е частното на два полинома. Например изразът

\frac{x + 2}{x + 1}

е рационален израз.

Ако не познаваш рационалните изрази, можеш да видиш нашето Въведение в рационалните изрази.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научиш как да събираш и изваждаш рационални изрази.

Събиране и изваждане на рационални изрази (с общи знаменатели)

Обикновени дроби

Можем да събираме и изваждаме рационални изрази по начин, много подобен на този, по който събираме и изваждаме обикновени дроби.

При събиране и изваждане на обикновени дроби с еднакъв знаменател просто събираме и изваждаме числителите и записваме резултата върху общия знаменател.

\begin{aligned} \frac{4}{5} - \frac{1}{5} \\ = \frac{4 - 1}{5} \\ = \frac{3}{5} \end{aligned}

Изрази с променливи

Процесът е същият при рационалните изрази:

\begin{aligned} \frac{7 a + 3}{a + 2} + \frac{2 a - 1}{a + 2} \\ = \frac{(7 a + 3) + (2 a - 1)}{a + 2} \\ = \frac{7 a + 3 + 2 a - 1}{a + 2} \\ = \frac{9 a + 2}{a + 2} \end{aligned}

Добре е да сложиш числителите в скоби, особено когато изваждаш рационални изрази. Така няма опасност да объркаме нещата с отрицателния знак!

Например:

\begin{aligned} \frac{b + 1}{b^{2}} - \frac{4 - b}{b^{2}} \\ = \frac{(b + 1) - (4 - b)}{b^{2}} \\ = \frac{b + 1 - 4 + b}{b^{2}} \\ = \frac{2 b - 3}{b^{2}} \end{aligned}

Провери знанията си

Задача 1

Събери.

\frac{x + 5}{x - 1} + \frac{2 x - 3}{x - 1} =

Задача 2

Извади.

\frac{x + 1}{2 x} - \frac{5 x - 2}{2 x} =

Събиране и изваждане на рационални изрази (с различни знаменатели)

Обикновени дроби

За да разбереш как да събираш и изваждаш рационални изрази с различни знаменатели, нека първо да видим как се прави това при обикновените дроби.

Например хайде да намерим

\frac{2}{3} + \frac{1}{2}

\begin{aligned} \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \\ = \frac{2}{3} (\frac{2}{2}) + \frac{1}{2} (\frac{3}{3}) \\ = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} \\ = \frac{7}{6} \end{aligned}

Обърни внимание, че ни е необходим общ знаменател

6

, за да съберем двете дроби:

Знаменателят на първата дроб ( $3$ ‍) трябва да умножим по $2$ ‍.
Знаменателят на втората дроб ( $2$ ‍) трябва да умножим по $3$ ‍.

Всяка дроб е била умножена по нещо, равно на

1

, за да се получи това.

Изрази с променливи

Нека сега да приложим това към следния пример:

\frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x + 5}

За да бъдат двата знаменателя еднакви, в първия трябва да има множител

x + 5

, а във втория - множител

x - 3

. Хайде да преобразуваме дробите, за да постигнем това. След това можем да извършваме събиране както обикновено.

\begin{aligned} \frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x + 5} \\ = \frac{1}{x - 3} (\frac{x + 5}{x + 5}) + \frac{2}{x + 5} (\frac{x - 3}{x - 3}) \\ = \frac{1 (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)} + \frac{2 (x - 3)}{(x + 5) (x - 3)} \\ = \frac{1 (x + 5) + 2 (x - 3)}{(x - 3) (x + 5)} \\ = \frac{1 x + 5 + 2 x - 6}{(x - 3) (x + 5)} \\ = \frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 5)} \end{aligned}

Обърни внимание, че първата стъпка е възможна, защото

\frac{x + 5}{x + 5}

\frac{x - 3}{x - 3}

са равни на

1

, а умножението по

1

не променя стойността на израза!

В следващите две стъпки преработихме числителя. Въпреки че можеш също да умножиш

(x - 3)

(x + 5)

в знаменателя, прието е той да се оставя в разложен вид.

Провери знанията си

Задача 3

Събери.

\frac{3}{x + 4} + \frac{2}{x - 2} =

Задача 4

Извади.

\frac{2}{x - 1} - \frac{5}{x} =

Какво следва?

В нашата следваща статия разглеждаме по-сложни примери за събиране и изваждане на рационални изрази.

Ще разбереш какво е най-малък общ знаменател и защо е важно да го използваш като общ знаменател при събирането и изваждането на рационални изрази.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.