Графики на рационални функции: нули

Казват ни: "Нека f(х) е равно на (2^2 - 18)/g(х), където g(х) е полином." И после ни казват: "Кое от следните е възможна графика на у, равно на f(х)?" И ни дават 4 варианта. Както винаги, окуражавам те да спреш видеото на пауза и да видиш дали можеш да се опиташ. Погледни f(х) и помисли коя от тези графики съвпада или може да съвпада с това f(х)? Нека сега решим това заедно. И не ни дават много информация. Не ни казват нищо за знаменателя на този рационален израз. Но ни дават числителя. Както сме виждали преди, полезно е да разложим числителя и да видим при какви стойности на х се случват интересните неща. В частност, при какви стойности на х числителят е равен на 0? Ако разложим числителя тук горе, можем да преобразуваме f(х) като равно на – да видим, можем да изнесем 2 пред скоби в числителя. Това е 2 по (х^2 - 9). И всичко това ще е върху g(х). Не знаем какъв е знаменателят. Просто знаем, че е полином. Тук числителят е (х^2 - 9). Може да разпознаеш това. Това е разлика на квадрати и можем още да го разложим. Все още имаме това първоначално 2 и това ще е (х + 3) по (х - 3). Виждали сме това множество пъти. Ако не ти изглежда познато, окуражавам те да гледаш видеото за разликa на квадрати или разлагане на полиноми. (х^2 - 9) е същото нещо като (х^2 - 3^2). Тоест това е (х + 3) по (х - 3). После всичко това все още ще е върху g(х). Първото нещо, което може да осъзнаем, е кога числителят ни е равен на 0. Когато х = -3 или когато х = 3. Ако х е равно на -3, този израз ще е 0. Ако х е равно на 3, този израз ще е равен на 0. Може да си кажеш: "Може би имаме нули при + или - 3." Може би при х е... може би f(-3) е равно на 0 и f( 3) е равно на 0. Тези стойности със сигурност изглежда правят числителя равен на 0. И после гледаме вариантите си. Когато гледаме вариантите си, този избор А изглежда има 0 при +3, но няма такава при -3. Има вертикална асимптота при -3. Това изглежда малко объркващо. Вариант В изглежда има 0 при +3, но нищо не се случва... нищо интересно не се случва при -3. Това определя -3. Дори няма вертикална асимптота тук. Отново, това изглежда малко объркващо. Вариант С има точка на отстранимо прекъсване при +3 и после има вертикална асимптота при -2. Отново, тук не става нищо интересно при х = -3. Все още е малко объркващо. Това има 0 при 6 и -6. Никой от вариантите няма нули и при х = 3, и при х = -3. Какво става? Трябва да осъзнаем, че просто понеже нещо прави числителя равен на 0, това не означава, че това определено ще е 0 за тази функция. Може да си кажеш: "Как е възможно това?" Помисли за ситуации, при които тези стойности също биха направили знаменателя равен на 0. Нека запиша някои потенциални f(х). Знаем, че g(х) е полином. f(х) може да е – знаем числителя, 2 по (х + 3) по (х - 3) върху... Нека просто кажем, че g(х) е... ще измисля нещо, g(х) = х + 1 В този случай никоя от стойностите, които правят числителя равен на 0, няма да направи знаменателя равен на 0. Това е ситуация, където ще имаш две нули при х = 3 и х = -3. Това ще са две нули. Две нули. Нека разгледаме друга подобна ситуация. Нека разгледаме ситуация, където f(х) е равно на – числителят, (х + 3) по (х - 3). Да кажем, че имаме... да кажем, че една от тези х стойности, + или - 3, прави знаменателя равен на 0. Да кажем, (х + 3) и после по (х + 1). След като (х + 3) е и в числителя, и в знаменателя, можем да разделим (х + 3) на (х + 3). Те се съкращават. Тук х = -3 ще е точка на отстранимо прекъсване. Това ще има 0 при х = 3 и точка на отстранимо прекъсване при х = -3. Това са стойностите, които правят числителя равен на 0, виждаме, че може да е 0 или може да е точка на отстранимо прекъсване. Тук просто избирам точката на отстранимото прекъсване да е при -3, а може да е обратното. Или може да е при двете стойности. Ако това беше (х + 3) по (х - 3) върху (х + 3) по (х - 3), тогава щеше да имаш точка на отстранимо прекъсване и при х = 3, и при х = -3. И можеш да продължиш. f(х) може да изглежда ето така. Може да е 2 по (х + 3) по (х - 3) върху (х + 3)^2 и просто ще измисля някакъв друг израз, (х + 1). Какво ще се случи тук? Дори ако разделиш числителя и знаменателя на (х + 3), все още ще имаш едно (х + 3) останало в знаменателя. Това ще се съкрати с едно (х + 3), но все още ще имаш (х + 3). В този случай ще имаш вертикална асимптота. В този случай ще имаш 0 при х = 3. И ще имаш вертикална асимптота. Просто ще я съкратя. Ще имаш вертикална – ще запиша това – вертикална асимптота при х = -3. Тези специфични примери, които ти показах, показват, че всяка стойност, която прави числителя равен на нула не са задължително нули за функцията. Те могат да са нули. Те могат да са точки на отстранимо прекъсване или могат да са вертикални асимптоти. Но всички те ще се случат при х, равно на + или - 3. Нека сега разгледаме вариантите отново. Вариант А има нула при х = 3 и има вертикална асимптота при х = -3. Това е много сходно с тази ситуация, която току-що описах. Вариант А изглежда доста добре. Вариант В има нула при х = 3, но вертикалната асимптота изглежда е при х = 2 и нищо интересно не се случва при х = -3. Можем да изключим това. Ако разгледам вариант С, имаш точка на отстранимо прекъсване при х = 3, което е напълно възможно. Виждали сме тази ситуация, където нещо, което прави числителя равен на нула, може да е точка на отстранимо прекъсване, ако имаш същия израз в знаменателя. Но после вертикалната асимптота не е при х = -3. Тя е при х = -2. Тоест изключваме това. Отново, нищо интересно не се случва при х = -3. И тук имаш две нули, но те не са при х, равно на + или - 3. Те са при х равно на + или - 6. Определено можем да изключим това. Така че трябва да сме уверени във вариант А.