Деление на рационални изрази

Целта на това видео е да вземем този ужасно сложен на вид израз, в който по същество делим рационални изрази, и да видим как можем да извършим делението, а след това да го опростим. Ако усещаш прилив на вдъхновение, те насърчавам да поставиш видеото на пауза и да работиш самостоятелно, а след това ще го решим заедно. Добре, сега да решим задачата заедно. Това е аналогично на делението на обикновени дроби. Ако трябва да разделя обикновената дроб шест върху 25 на обикновената дроб 15 върху 9, знаем, че можем да представим това като 6 върху 25 делено на 15 върху 9, което е същото като шест върху 25, по девет върху 15. След това можем да разложим числителите и знаменателите. Това 6 е равно на 2 по 3. Това 9 е равно на 3 по 3. Това е 5 по 5. Това е 5 по 3. Да видим, в числителя имаме 3, и в знаменателя имаме 3. Всъщност, това е всичко, което можем да направим. Получаваме 2 по 3, по 3, което дава 18 в числителя. После в знаменателя имаме 5 по 5, по 5, което е 125. Тук ще направим съвсем същото нещо, но има едно допълнително усложнение. Тук трябва да внимаваме за недопустимите стойности на х, които по някакъв начин биха направили израза недефиниран, защото при опростяването може да загубим информация, а ако загубим такава информация, това може да промени израза. Така че трябва да внимаваме какви ограничения има на дефиниционното множество. Първо мога просто да препиша това х на квадрат минус 3 по х, минус 4, цялото върху минус 3 по х, минус 15. Този израз делим на всичко това тук – х на квадрат минус 16, върху х на квадрат минус х, минус 30. Следващото нещо, което можем да направим, е да разложим отделните числители и знаменатели и да помислим кои стойности на х може да ни създадат проблеми. х на квадрат минус 3 по х, минус 4. Да видим, минус едно... Да видим, минус четири по плюс едно, това е минус четири, а после събираме тези и това дава минус три. Мога да преобразувам това като х минус 4, по х плюс 1. Представям го по този начин. След това мога да представя това, което е ето тук в знаменателя, като изнеса пред скоби минус 3. Мога да го запиша като минус 3 по х плюс 5. След това мога да запиша това ето тук. Това е разлика на квадрати. Ще стане (х + 4) по (х – 4). И накрая, но не по значение, остана ето това тук. Да видим, ако имах пет и шест, минус 6 плюс 5 дава минус 1, минус 6 по 5 дава минус 30. Значи това ще стане (х – 6) по (х + 5). Сега, преди да продължа – причината да разложа е, че сега мога да помисля кои стойности на х ще ни създадат проблеми. Знаем, че всички стойности на х, за които знаменателите стават нула, правят израза недефиниран. Така че искаме да ги изключим от дефиниционното множество. Знаем, например, че х не трябва да е равно на минус 5. Това би направило този знаменател нула. Ще го запиша ето тук. Значи х не може да е равно на минус 5. Знаем също, че х не може да е равно на 6. х не може да е равно на 6. Тук виждаме също така, че х не трябва да е равно на минус 5. Няма нужда да го пиша отново. Но това не е всичко. Намерихме недопустимите стойности на х, които правят тези знаменатели да са равни на нула. Спомни си, обаче, че ние също така делим на целия този израз ето тук. Всичко, което би направило целия този израз да е равен на нула, също е проблем, защото не се дели на нула. Значи всички стойности, за които този числител е равен на нула, което е ето този числител ето тук, също биха довели до това да делим на нула. Затова имаме ограничение. Не този числител, този си е наред. Този тук би бил равен на нула. Не можем да делим нула на други неща. Да видим, виждаме, че х не може да е равно на минус 4, и по същество, х не може да е равно на плюс 4. Сега сме дали всички ограничения на дефиниционното множество и можем да продължим напред. Ще оградя това ето тук, и след това продължаваме. Мога да препиша всичко това. Значи ще имаме х минус 4, по х плюс 1, всичко това върху минус 3 по х плюс 5, а сега аз просто, вместо да деля на този израз, ще умножа по реципрочното му. Значи това ще бъде умножено по... просто взимам реципрочното, х минус 6, по х плюс 5, всичко това е върху, имаме х плюс 4, по х минус 4. Отново, дефиниционното множество е ограничено по този начин, но виждаме, че имаме х минус 4 в числителя сега, х минус 4 в знаменателя, х плюс 5 в знаменателя, х плюс 5 в числителя. Можем да кажем, че това е равно на х плюс 1, по х минус 6, всичко това върху минус 3, по х плюс 4. По начинът, по който изразът е записан сега, виждаме, че х не може да бъде равно на минус 4. Това е тази информация, която вече се съдържа в този израз, сега, след като го опростихме, но тази друга информация ето тук, тя се изгуби. Ако искаме този израз наистина да е еквивалентен на първоначалния, можем да кажем, че х не може да е равно на минус пет, шест или плюс 4. Можеш да сложиш тук и минус 4, но то вече се съдържа в израза, така да се каже.