Умножение на рационални изрази

Тук виждаме един израз, който е произведение на рационални изрази. Искам да извършим това умножение и след това да опростим до членовете от най-ниска степен. Ако чувстваш прилив на вдъхновение, те насърчавам да поставиш видеото на пауза и да опиташ да го пресметнеш самостоятелно. Добре, сега да го решим заедно. Умножението на този вид рационални изрази е аналогично на умножението на обикновени дроби. Например, ако искаме да умножим 6/25 по 15/9, можем да го направим по няколко начина. Можем просто да умножим шест по 15 в числителя, и 25 по 9 в знаменателя. Но повечето от нас правят нещо различно, защото най-лесният начин да опростим дробта е да разложим на множители, да осъзнаем, че 6 е равно на 2 по 3. Девет е равно на 3 по 3, а 15 е равно на 3 по 5, и 25 е равно на 5 по 5. След това можем да видим, че в нашето произведение ще имаме пет и в числителя, и в знаменателя. Можем да кажем, че 5 делено на 5 е 1, 3 делено на 3 е 1, и след това 3 делено на 3 е пак 1. Така ни остават само тази двойка и тази петица. Значи това е равно на 2/5. Ще подходим по аналогичен начин към тези рационални изрази. Ще ги разложим, разлагаме всичко в числителите и в знаменателите. След това ще видим дали можем да разделим числителя и знаменателя на едно и също нещо. Тук обаче трябва да сме сигурни, че не забравяме какво се случва с дефиниционното множество. Защото тези рационални изрази тук може да съдържат стойности на х, за които знаменателят е нула. Дори да опростим до най-ниската степен на членовете, и да се отървем от тези изрази, за да не се промени изразът, дефиниционното множество трябва да се запази същото. Да започваме. Това ще е равно на – просто преписвам всичко – х на квадрат минус 9. Как можем да го разложим? Чрез формулите за съкратено умножение. Можем да го представим като (х + 3) по (х – 3). Това е върху това тук. Да видим, 5 на квадрат е 25, минус 5 плюс минус 5 е равно на минус 10. Значи това е (х – 5) по (х – 5). Ако това, което направих току-що при разлагането, ти е непознато ти препоръчвам да си преговориш разлагането в Кан Академия. След това умножаваме това по – да видим – по този числител тук, където мога да изнеса пред скоби 4. Значи това е равно на 4 по (х – 5). Това ще ни е полезно. Имаме (х – 5) тук и също така тук. После това ще бъде върху – да видим, върху този израз тук. 2 плюс 3 е 5, 2 по 3 дава 6. Значи това е (х + 2) по (х + 3). Сега, преди да започнем да опростяваме, да помислим за дефиниционното множество. Дефиниционното множество не включва тези стойности на х, за които знаменателите са нула. Значи дефиниционното множество включва всички реални числа с изключение на х = 5. Ще го запиша ето тук. х = 5 е недопустима стойност, защото тогава този знаменател е равен на нула. х не може да е равно и на минус 2. х = –2 също е недопустима стойност, защото тогава знаменателят става равен на нула, ето този знаменател тук. х не може да е равно и на минус 3. Значи това са недопустимите стойности. Трябва да не го забравяме. Няма значение какъв е изразът, това са ограниченията на дефиниционното множество. Като изяснихме това, сега можем да опростим. Имаме (х + 3) в знаменателя и в числителя. Имаме (х – 5) в числителя и в знаменателя. Мисля, че не можем да направим нищо повече. Когато умножим числителите, ще получим – ето това става 4 по (х – 3). В знаменателя имаме (х – 5). После имаме (х + 2). Можем да оставим израза в този вид, ако искаме. В някои случаи обаче хората предпочитат да разкрият скобите, но примерът вече е решен. Ние умножихме тези рационални изрази. Трябва да не забравяме недопустимите стойности на х. По начина, по който опростихме това произведение, в знаменателя все още имаме (х – 5). Може би е излишно да казваме, че х = 5 е недопустима стойност, тъй като това се вижда от опростения вид на резултата. Това се отнася и за недопустимата стойност х = –2. Тук също имаме (х + 2). Така че, въпреки че този израз е твърде прост, х не може да е равно на минус 2, но това, че х не може да е равно на минус 3 не е така очевидно, когато разглеждаме този израз. За да може полученият израз да е напълно еквивалентен на първоначалния израз, те трябва да имат едно и също дефиниционно множество. Така че е хубаво да се каже специално, че х не може да е равно на минус 3. Може да се посочат и другите две недопустими стойности, но те се виждат много ясно, когато разглеждаме крайния израз.