Основно съдържание

Въведение в математическия анализ

Курс: Въведение в математическия анализ > Раздел 4

Урок 1: Опростяване на рационални изрази

Въведение в рационални изрази

Научи какво представляват рационалните изрази и стойностите, при които те са неопределени.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще се запознаеш с рационалните изрази. Ще се научиш как да определяш кога даден рационален израз е недефиниран и как да намираш неговото дефиниционно множество.

Какво е рационален израз?

Полином е израз, който се състои от сбор от членове, съдържащи целите степени на x, като 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 1.

Рационален израз е просто отношение на два цели израза (полинома). С други думи, той е дроб, на която числителят и знаменателят са полиноми.

Това са примери за рационални изрази:

start fraction, 1, divided by, x, end fraction
start fraction, x, plus, 5, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 4, end fraction
start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 3, right parenthesis, divided by, x, minus, 6, end fraction

Обърни внимание, че числителят може да бъде константна величина, а полиномите могат да са от различна степен и в разнообразен вид.

Рационални изрази и неопределени стойности

Разгледай рационалния израз start fraction, 2, x, plus, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction.

Можем да определим стойността на този израз за конкретни стойности на x. Например, хайде да изчислим израза при start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd.

\begin{aligned} \dfrac{2(\blueD{1})+3}{\blueD1-2} &= \dfrac{5}{-1} \\\\ &=\goldD{-5} \end{aligned}

От това можем да видим, че стойността на израза при start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd е start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.

Сега нека да намерим стойността на израза при start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd.

\begin{aligned} \dfrac{2(\blueD{2})+3}{\blueD2-2} &= \dfrac{7}{0} \\\\ &=\goldD{\text{недефинирано!}} \end{aligned}

Ако добавим 2, знаменателят става 0. Тъй като делението на 0 е невъзможно, start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd е недопустима стойност за този израз!

Дефиниционно множество на рационалните изрази

Дефиниционното множество на всеки израз е множество от всичките допустими стойности.

При рационалните изрази можем да добавяме всякакви стойности, с изключение на онези, за които знаменателят е равен на 0 (тъй като делението на 0 е невъзможно).

Казано по друг начин, дефиниционното множество на даден рационален израз включва всички реални числа, с изключение на онези, за които знаменателят е равен на нула.

Пример: Намиране на дефиниционното множество на start fraction, x, plus, 1, divided by, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, end fraction

Хайде да определим за кои стойности на x знаменателят е нула и после да ги ограничим:

\begin{aligned} (x-3)&(x+4)= 0 \\\\ \swarrow \quad&\quad \searrow \\\\ x-3=0 \quad &\text{или} \quad x+4=0 \\\\ x = 3 \quad&\text{или} \quad x=-4 \end{aligned}

Следователно записваме, че дефиниционното множество е всички реални числа с изключение на start text, 3, end text и start text, negative, 4, end text или просто x, does not equal, 3, ;, minus, 4.

Провери знанията си

Задача 1

Какво е дефиниционното множество на start fraction, x, plus, 1, divided by, x, minus, 7, end fraction?

Задача 2

Какво е дефиниционното множество на start fraction, 3, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 1, end fraction?

(Избор А)
x, does not equal, minus, 1
(Избор Б)
x, does not equal, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction
(Избор В)
x, does not equal, start fraction, 7, divided by, 3, end fraction
(Избор Г)
x, does not equal, 7

Задача 3

Какво е дефиниционното множество на start fraction, 2, x, minus, 3, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction?

(Избор А)
x, does not equal, minus, 1
(Избор Б)
x, does not equal, 0
(Избор В)
x, does not equal, 0, comma, 1
(Избор Г)
x, does not equal, 0, comma, minus, 1

Задача 4

Какво е дефиниционното множество на start fraction, x, minus, 3, divided by, x, squared, minus, 2, x, minus, 8, end fraction?

Задача 5

Какво е дефиниционното множество на start fraction, x, plus, 2, divided by, x, squared, plus, 4, end fraction?

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.