Решен пример: сума на членовете на аритметична прогресия (рекурентно зададена формула)

Ще определя една рекурентно зададена аритметична прогресия. Ще кажем, че i-тият член на прогресията е равен на члена (i - 1) от прогресията, плюс 11. Всеки член ще бъде с 11 повече от члена преди него. Трябва да установим един общ случай тук, като ще кажем, че първият член от аритметичната прогресия ще бъде равен на 4. Имайки това рекурентно задаване на аритметичната прогресия тук, те предизвиквам да намериш сумата от първите 650 члена от прогресията. Нека го запиша. Намери сумата от първите 650 члена от прогресията, от тази аритметична прогресия, която току-що определихме. Както винаги, спри видеото на пауза и виж дали можеш да го направиш. Добре, как можем да разглеждаме това? В много клипове сме разяснявали какво представлява сумата на една аритметична прогресия и стигнахме до формула за изчисляване на сума на аритметична прогресия, която се нарича на английски arithmetic series, Сумата от първите n члена ще бъде първият член плюс последния член върху 2 или реално средното аритметично на първия и последния член, по броя на членовете, които имаме. Това важи само за сумата на аритметични прогресии, при които всеки член, който прибавяме, е с точно определена величина по-голям или по-малък от предходния или при които имаме фиксирана разлика на прогресията. Какво ще кажем за тази тук? Какви ще бъдат първия и последния член, и колко е n? Знаем, че n е 650 и знаем какъв ще бъде първият член. Първият член ще бъде 4. Трябва да намерим какъв е n-тият член или трябва да намерим какъв ще бъде 650-тият член. Нека помислим малко върху това. Ако изчислим сумата, ще имаме 4 плюс следващия член, втория член, така че а2 ще бъде (а1 + 11). Това ще бъде 4 + 11, което е 15. Ще прибавим 11, което ще ни даде 26, като ще продължим да прибавяме 11. Колко пъти ще прибавим 11? За да стигнем до втория член, прибавяме 11 веднъж. За да стигнем до третия член, прибавяме 11 два пъти. Следователно за да стигнем до 650-тия член, това е 'а' с индекс 650, а с индекс 650, ще трябва да прибавим 11 – за да стигнем до втория член, прибавихме 11 веднъж, за третия член прибавихме 11 два пъти. Следователно за да стигнем до 650-тия член, ще прибавим 11 (650 - 1) пъти. Или 649 пъти. Забележи, че за да получим всеки член, за да получим първия член, прибавихме (1 - 1), имахме 11 (1 - 1) пъти, прибавихме 11 нула пъти. Започнахме с 4 и не прибавихме въобще 11. След това при втория член прибавихме 11 веднъж. За третия член прибавихме 11 два пъти. За четвъртия член го прибавихме три пъти. За 650-тия член прибавихме 11 – 649 пъти. Така че ако прибавим 649 пъти 11, какво получаваме? 4 плюс (649 по 11) ще бъде равно на, ще извадя калкулатора си за това, това ще бъде равно на 649 по 11 е равно на, плюс 4, е равно на 7143, 7143. Това е 650-тият член. 7143. Сега можем просто да изчислим това. Ще използвам калкулатора за тази цел. Имаме 7143 плюс 4, плюс първия член, плюс 4 е равно на това. Ще разделим на 2. Разделяме на 2 и получаваме 3573,5. Ще умножим това по 650. Толкова члена имаме. По 650 е равно на, това е доста голямо число, ще бъде равно на 2 322 775. 2 322 775. Вече го забравих. Трудно ми е да си спомням неща, когато ги махна от екрана си. Добре, 2 322 775. Радвам се, че имам калкулатор под ръка за тази задача, но можеш да го изчислиш и на ръка. Винаги препоръчвам да го правиш на ръка. Никога не боли да упражниш смятането.